Ben pour une sous variete definie par une submersion f, alors l'espace tangent en un point a c'est ker df(a).
Donc pour On qui est definie par l'application submersive tMM=1, dont la differentielle est df(1).h=tH+h
Son esapce tangent en 1 c'est donc l'ensemble des matrices de Mn(R) qui sont antisymetrique.

On retrouve facilement l'espace tangent en n'importe quel point.

Salut.
Trouver les sous-espaces tangents de On(R) n'a rien de trivial et si tu n'es pas guidé c'est vraiment pas facile.
Tu te places d'abord au point g=In et tu détermines l'espace tangent en In.
On pose A € An(R)(matrice antisymétrique réelle) et tu poses Ca:R -> GLn(R) tel que Ca(t)=exp(tA).
Comme transposé(exp(tA))=exp(t.transposé(A)) (pour montrer ça tu écris une somme finie et tu passes à la limite, il n'y a aucune difficulté).
Or A € An(R) donc exp(t.transposé(A))=exp(-tA). Donc exp(t.transposé(A)).exp(tA)=In.
Comme Ca(0)=In et C'a(0)=A donc A appartient à l'espace tangent (par définition).
Donc An(R) c plan tangent. Pour une raison de dimension (dim(An(R))=n(n-1)/2 et dim(plan tangent)=dim(sous-variété On(R))=n(n-1)/2). Donc An(R)=plan tangent en In.

Ensuite dans le cas quelconque tu regardes l'application Fu:Mn(R)->Mn(R) et qui à G associe UG.
Fu laissant invariant On(R) su u € On(R) on a l'application linéaire tangente
T(In)Fu : T(In)On(R) -> TuOn(R) et qui à A associe UA. donc le plan tangent au point u € On(R)
est égale à u.An(R).

Comme tu le vois c'est loin d'être trivial!!!
Ensuite tu peux chercher un paramétrage de On(R). Si ca t'intéresse je peux te guider au début.
Il faut montrer que l'exponentielle est un difféomorphisme. (Théorème d'inversion locale autour de 0).

Bon courage!!!

Merci à tous les deux !

Pour déterminer l'espace tangent en In, vu que j'ai déjà défini ma submersion, je préfère faire comme Rodrigo a dit, et dire que c'est le Noyau de la différentielle de ma submersion (mais ça donne un espace vectoriel, l'espace tangent n'est-il pas un espace affine ?).

Bizarrement, mon exercice demande d'abord de "déterminer l'espace tangent en un point quelconque de On", puis de "caractériser cet espace dans le cas où le point est In", c'est un peu à l'envers...

Ah un détail encore : quand on demande l'espace tangent à une sous varieté en un point, on demande l'espace vectoriel ou l'espace affine ?