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Espace vectoriel
Bonjour,
J'ai un petit exercice sur les espaces vectoriels que je n'arrive pas à résoudre :
Soit E un espace vectoriel sur K. Soient A, B et C trois sous espaces vectoriels de E tel que :
- A 
B = A C
- A + B = A + C
1. On suppose que A et B sont en somme direct. Montrer que B = C.
2. On s'affranchit de l'hypothèse de somme directe entre A et B, et on suppose que B 
C. Montrer que B = C.
Je vous remercie d'avance.
Bonne journée !
Spirit
Salut, 
Je ferai comme ça.
A et B sont en somme directe. Donc l'intersection de A et de B est réduite au vecteur nul. Il en est donc de même de celle de A et de C. La deuxième hypothèse permet de conclure par double inclusion je pense.
Bonjour à tous,
tu es sûr de ton énoncé Spirit??
Le résultat me semble faux:
Dans l'espace de dimension 3 usuel par exemple muni de la base canonique (e,f,g), le plan vectoriel A d'équation z=0 est en somme directe avec la droite vectorielle B= 
C).
On a donc bien
AB=AB={0} et
A+B=A+C=E,
avec A et B en somme directe, sans pour autant que B=C!
Tigweg
Ah oui, effectivement, je viens de vérifier mon raisonnement de 10h59 et il est tout simplement faux.
Spirit >> Tigweg m'a convaincu que le résultat est faux. En fait ça vient du fait que x€A+B n'implique ni x€A ni x€B. (ex: 1+i € R+iR mais 1+i n'appartient ni à R ni à iR). Par contre, le résultat serait vrai si à la place des "+" on avait des réunions (mais là, on aurait plus forcément affaire des sev).
Ayoub.
rebonjour,
J'ai eu confirmation que la première question n'est pas faisable, et je bloque de meme sur la 2 !
J'ai vraiment du mal a me représenter un espace vectoriel ...
Merci.
++
oui enfin c'est une petite erreur sur le sujet, je ne sais pas si cela est volontaire ou pas, étant donné que mon chargé de TD n'est pas le responsable du cour, le sujet de TD n'est pas de lui !
Ok mais ce qui est bizarre c'est que je ne vois pas comment modifier l'énoncé pour qu'il devienne juste...
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