Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Espace vectoriel
Bonjour, je n'arrive pas commencer un exercice sur un espace vectoriel (que je n'arrive pas à me représenter !). Voici l'intitulé de l'exercice :
Soit E l'espace vectoriel défini sur 
par E=[3
(5)].
1. Quelle est la dimension de E sur ? En donner une base B.
2. Calculer la matrice M de la multiplication par 3(5), puis de 3(25) et de (1+3(5))2 dans la base B.
Merci à ceux qui voudrons bien jeter un coup d'oeil sur cet exercice de m'eclairer un peu !
Bonjour, je n'arrive pas commencer un exercice sur un espace vectoriel (que je n'arrive pas à me représenter !). Voici l'intitulé de l'exercice :
Soit E l'espace vectoriel défini sur par E=[3(5)].
1. Quelle est la dimension de E sur ? En donner une base B.
2. Calculer la matrice M de la multiplication par 3(5), puis de 3(25) et de (1+3(5))2 dans la base B.
Merci à ceux qui voudrons bien jeter un coup d'oeil sur cet exercice de m'eclairer un peu !
*** message déplacé ***
bonjour arno, et bienvenue sur l'ile
Ici, le multi-post n'est pas toléré, comme tu as déjà posté ton message dans la catégorie appropriée: "autre" tu n'as pas besoin de reposter ton exercice dans le forum détente... voila surtout qu'ici ce n'est pas la partie du forum ou l'on demande de l'aide
*** message déplacé ***
Bonjour
je note r=35.
Par définition Q[r] est le plus petit sous-espace vectoriel qui contient Q et r.
Il se trouve que Q[r]={P(r) | P
Q[X]}
Or r^3=5 et si on a a+br+cr2=0 avec a,b,c rationnels, on a a=b=c=0. Ceci prouve déjà que 1,r, r2 sont linéairement indépendants sur Q.
De plus, si P est un polynôme quelconque, on peut écrire P(X)=(X3-5)Q(X)+R(X) avec R de degré au plus 2. Ceci montre que P(r)=R(r)=a+br+cr2, donc la famille est génératrice.
(1,r,r2) est donc une base.
Le reste ne pose plus de problème.
Voici un exerice que je suis en train de réaliser et j'ai des petits problèmes sur certaines questions. Voici le sujet :
Soit E l'espace vectoriel sur défini par E = [35].
1. Quelle est la dimension de E sur ? En donner une base B ?
2. Calculer la matrice M de la multiplication par 35, puis de 325 et de (1+35)2.
3. On suppose maintenant que B est du type (
, 35, 1) et que M est à termes entiers positifs. Est-ce possible ?
4. On pose H = tM et H0 désigne la matrice formée par les deux dernières lignes de H. On définit une suite d'entiers ak par l'algorithme suivant :
k=0
(i) Si Hk possède la propriété suivante :
Pour chaque colonne de H[sub]k[/sub], le quotient dans la division euclidienne du terme de la
première ligne par celui de la deuxième ligne est indépendant de la colonne et pour chaque
colonne le reste de la division est positif.
Alors on pose ak égal au quotient et Hk+1 = GHk où
G = matrice (0 1 )
(1 -ak ).
k = k+1 et on retourne au pas (i).
Sinon on va au point (ii).
(ii) Hk = HkH.
Ecrire cet algorithme en Maple ou en Maxima.
Pour les 2 premières questions, j'ai trouvé que B = (1, 35, (35)²) est une base de E et donc que dim(E) = 3.
Pour la matrice de la multiplication par 35, j'ai trouvé en posant :
P(X) = a + b35 + c(35)² polynôme de E et en exprimant P(1 x 35), P(35 x 35) et P((35)² x 35) dans la base B :
a b a +5b+25c
M = b 5c 0
c b 0
Pour la multiplication par 325 :
a a +5b+25c a
M= 5c 0 5b
b 0 25c
Pour la multiplication par (1+35)2 :
a+b+c a+5b+45c a+10b+150c
M = 2b+9c b+30c 5b+105c
b+6c 2b+21c b+45c
J'aurais bien aimé savoir si j'ai juste pour les 2 premières questions (et la bonne méthode pour la question 2) et avoir de l'aide pour les questions 3 et 4.
Merci d'avance.
*** message déplacé ***
juste pour la question 4, 4ème ligne c'est Hk eet non pas Hk. Merci.
*** message déplacé ***
Bonjour
Attention! les matrices sont formées uniquement de nombres. Il n'y a ni a, ni b, ni c.
*** message déplacé ***
Tu as en colonnes les coordonnées sur ta base des images des vecteurs de la base. Il n'y a aucun paramètre.
*** message déplacé ***
Les a,b,c ne sont pas des paramètres mais des constantes. Elles définissent un vecteur quelconque de E non ?
*** message déplacé ***
NON.
Tu cherches une matrice M telle que mais les a,b,c ne sont pas DANS la matrice!
*** message déplacé ***
Non je ne comprends pas, je suis peut être bête. Désolé.
Mais ma base de E c'est B = (1, 35, (35)²).
En prenant un vecteur quelquonque de E, il s'écrira en fonction des éléments de cette base, il sera donc de la forme P(X)=a+b35+c(35)².
Donc la multiplication la matrice de la multiplication dans E par 35 dépendra forcément des coordonnées de ce vecteur quelqonque de E, non ?
*** message déplacé ***
Là comme ça je comprends pas vraiment... Tu as fait comment, si je comprends comment on fait pour une j'arriverais à faire les autres...
*** message déplacé ***
Je mets en colonne les coordonnées que j'ai trouvées et je découvre que ma matrice précédente était fausse 
. Donc voici la bonne:
*** message déplacé ***
Heu camélia, ce n'est pas la bonne matrice
La première raison (celle qui est génante) c'est que la matrice doit etre à coefficients dans Q
La deuxième est que la bonne matrice est
*** message déplacé ***
Je faisais bien sur allusion à ton message de 16:08, cela dit ma matrice n'est pas bonne non plus, c'est un 5 au lieu d'un 1 sur la première ligne!
*** message déplacé ***
Sakut Rodrigo; j'ai reconnu mon erreur, mais j'insiste sur le 5 en haut à gauche!
*** message déplacé ***
Merci beaucoup je pense que la question 2 ne me poseras plus de problèmes mais une bonne dose de calculs.
Si jamais vous avez des suggestions sur le reste de l'exo n'hésitez pas à m'en faire part. Merci d'avance.
*** message déplacé ***
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac