salut



soit p, q et r des réels tels que

1/ montrer que p = q = r = 0
2/ toute élément de E est combinaison linéaie des suites a, b et c

1/ La liberté c'est ok en évaluant en 0, 1 et 2 j'arrive à le faire.

2/ votre question correspond à la question 3)b) (je ne sais pas si vous l'aviez vu).

Et elle se fait en résolvant l'équation caractéristique.

Mais là a_n n'est pas égale à (-4)ⁿ b_n pas à 2ⁿ non plus, sans expression explicite des suites je ne vois pas comment montrer le caractère générateur..

ouais c'est problématique quand on voit la question b/

sans un argument d'autorité je ne vois pas comment faire a/ sans faire b/ :

si la suite est un élément de E avec ses trois premiers termes u_0, u_1 et u_2

alors la résolution du système u = pa + qb + rc d'inconnu le triplet (p, q, r) donne une unique solution ...

Je me disais que si la liberté était facile à faire on pouvait peut-être utiliser l'égalité des dimensions pour avoir donner le caractère de base à la famille. Mais chercher la dimension de E revient à déterminer une base donc bon

ha oui pardon !!!

toute suite de E est déterminée de façon unique par la donnée de ses trois premiers termes (la relation de récurrence donnant de façon unique les suivant)

les trois premiers termes de toute suite de u permettent d'écrire de façon unique u comme combinaison linéaire des suites a, b et c

la relation de récurrence permet alors de conclure

Mais comment faire si je prend une suite u quelconque de E, je n'ai pas d'expression de u₀ u₁ et u₂..?

(Ceci sans donner d'expression comme à la question 3)b) je veux dire)

Je me permets de répondre :
Dans la question 3)a ), on oublie momentanément et .
Cette question aurait pu être posée au tout début.
Tu cherches à écrire, pour tout n de , u_n = xa_n + yb_n + zc_n avec x, y, z réels.
Deviner x, y et z en fonction de u₀, u₁ et u₂ est facile.
Ensuite justifier que ça marche.

Oups !

D'accord c'est ce que je me suis demandé, si on garder les terme tel quel.

Donc pour u₀
On a u₀=u₀a₀+b₀+c₀

Avec , quelconques

u₁=a₁+u₁b₁+c₁

Avec , quelconques

Supposons que l'égalité est vrai au rang n et n+1

(i.e que u_n=a_n+b_n+c_n
Et u_n+1=a_n+1+b_n+1+c_n+1

Alors:
u_n+3=12u_n+1-16u_n
u_n+3=a_n+112 ….

Je crois que je me suis perdu, je dois montrer que U_n+1 est CL de quoi?

Facile je ne sais pas car pour u₀ par exemple je peux prendre y et z complètement quelconques donc pour les trouver ça serait difficile
Blague à part, je suis d'accord que pour les premiers termes, ça se fait, mais pour l'hérédité je ne sais pas si je ne dis pas n'importe quoi

pour n = 0, 1 et 2 tu déduis que

ensuite raisonnement par récurrence :

on suppose que ...

donc

(on développe et on réduit et on utilise le fait que ...)

compléter les pointillés !!

première ligne à prouver avec

Ok je vois!!
On suppose que à n fixé:
u_n+1=u₀a_n+1+u₁b_n+1+u₂c_n+1

Et u_n=u₀a_n+u₁b_n+u₂c_n

Ensuite en développant et en utilisant le fait que a b et c appartiennent à E alors on a la relation de récurrence de l'énoncé qui s'applique aussi à ces suites! Merci carpediem!

J'ai ensuite essayé de determiner la dimension de F mais c'est un peu compliqué, je connais une famille génératrice de E, dois-je m'en servir?

théorème de croissance comparée ...

Uⁿ/eⁿ et ça tend bien vers 0 si u_neⁿ pour tout n

Enfin APCR suffit

Je ne vois pas comment déduire quelque chose

C'est égale à u_n/eⁿ

Et peut-être se servir de l'expression de u_n de la 3)b) ?

mais bon sang que vaut u_n ?????????   question 3b/ !!!!!

donc évidemment !!!!!!!!!!

C'est dommage de ne jamais avoir traduit le résultat de la question 3)b) en y remplaçant et par leur valeur :
u_n = A(-4)ⁿ + (Bn + C)2ⁿ

A partir de là, chercher une condition sur les réels A, B et C pour que la limite du quotient u_n/eⁿ soit 0.

Bonjour, on sait que:

C*2^{n[/sup e[sup]-n} tend vers 0
Et que nB2ⁿe^-n tend vers 0

Donc C et B doivent être quelconque

Donc il faut que A(-4)ⁿe^-n tende vers 0 donc que A soit égale à 0.  

C'est ça?

"Je sais que"
Je n'ai pas vu ces limites là dans un cours.
Il faut donc les justifier correctement.

ouais c'est quand même dommage de ne pas aller au fond des choses ...

quand on parle des suites il serait peut-être utile sinon nécessaire d'écrire proprement le terme de cette suite avec les résultats précédents !!

donc

et un cours sur les limite des suites géométriques de première et de croissance comparée de terminale permet de conclure ...

Bonjour
pour la question 3a, une manière de faire, mais seulement si tu as déjà appris des choses sur les applications linéaires, serait de considérer l'application linéaire qui à tout triplet de réels associe la suite de E dont ce sont les trois premiers termes, vérifier que c'est un isomorphisme, et alors la famille proposée n'est autre que l'image de la base canonique de IR^3