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espace vectoriel de dimension finie...
Bonjour, j'ai un problème que j'aimerais bien résoudre mais il est long et j'ai un peu de mal à le faire, voici l'énoncé :
Problème
On note le
-espace vectoriel des fonctions réelles de classe
sur
.
On considère trois fonction et
de cet espace vectoriel définies pour
par
On note l'espace vectoriel engendré par la famille
.
Partie 1
1) Soit et
trois réels tel que
. En utilisant les comportements relatifs des fonctions p,q et r en
, montrer que nécessairement,
.
2) Que peut-on en conclure sur pour
? Quelle est la dimension de
?
Partie 2
3) Si ;
avec
, exprimier a,b,c en fonction de
et
. ( on résoudra un système 3x3 ).
4) On note l'application de
dans
qui, à toute fonction
associe le triplet
.
Montrer que est un isomorphisme de
sur
.
et puis après il y a une partie 3, mais je vais sans doute la faire plus tard...
1) Pour moi, c'est évident que pour que , il faut nécessairement que
, mais je ne vois pas comment utiliser les comportement de p,q et r en
car ces trois fonctions tendent ont une limite infinie en
...
2) eh bien si , alors
est une famille libre dans
, mais la dimension....
3)alors j'ai calculé:
et j'ai trouvé les solutions du système 3x3...
4) j'ai pas encore trouvé...
Pourriez vous m'aider ?
Bonjour,
1)"Les comportements relatifs" signifie "comparer les vitesses de divergence des 3 fonctions".
Divise par r l'équation ap+bq+cr=0 et déduis-en que c=0.
Ecris l'équation restante, divise par le plus costaud de p et de q et continue!
2)L'espace est de dimension 3 puisque (p,q,r) en est une famille génératrice (par définition de E) et libre...
4)L'application est linéaire (immédiat), surjective puisque la donnée de f(0), f'(0) et f(1) suffit à calculer a,b,c d'après la question 3, et donc f=ap+bq+cr.
Les espaces étant de même dimension, Psi est forcément un isomorphisme.
OK, merci
en fait j'avais avancé depuis que j'ai poster mon sujet,
j'ai trouver la dimension 3, pour la question 2
j'ai fait un raisonnement par l'absurde pour la 1) et la 4) il fallait juste que je revois la définition d'un isomorphisme (ça fait longtemps qu'on a clos le chapitre 
...)
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