Bonjour.

Désolé, je ne comprends pas bien tes hypothèses.

Je vais donner tout l'énoncé de mon Dm:
Soit E un K-espace vectoeriel non réduit au vecteur nul et de dimension finie n. On se donne deux sous-espaces vectoriels C tels que:
C est suplémentaire de A dans A+B
C est suplémentaire de B dans A+B
On dira alors que C est un supplémentaire commun à A et B dans A+B.
1) Dans cette question, on suppose qu'il existe un sous-espace C vérifiant la condition du préambule. Montrer que dim(A)=dim(B). préciser dim(C).

Réponse:
fait et dim(C)=dim(A)-dim(AB)

Dans toute la suite de l'exercice, on supposera que dim(A)=dim(B). Il s'agit de montrer que le sous-espace vectoreil C existe.

2)Cette partie est indépendante et faîte.

3)Soit dim(A)=dim(B)
a)On suppose de plus que A=B. Montrer qu'il existe un sous-espace C vérifiant le préambule.

Réponse:
C'est ici que je n'y arrive pas.

La suite je n'est pas encore essayé.

Si A = B, alors A + B = A, donc C = {0}

En effet, on va dire que j'ia pas trop cherché pour pas avoir trouvé quelque chose d'aussi simple, merci beaucoup.

mais A+B=2A, donc C n'est pas {0}?

non j'ai rien dit c'es des ensembles, je dis n'importe quoi.

Maintenant, j'ai un autre problème à la suite de mon dm. Pouvez vous m'aidez.

3) on suppose dim(A)=dim(B)
et cette fois ci AB

b) Justifier qu'il existe un sous-espace vectoriel A' supplémentaire de AB dans A et un sous-espace vectoriel B' supplémentaire de AB dans B.

Réponse: fait

c) Montrer que A' et B' ne sont pas réduits au vecteur nul, que leur intersection est réduite au vecteur nul et qu'ils sont de même dimension. on note p cette dimension. On considère une base A''=(a₁,...,a_p) de A' et une base B''=(b₁,...,b_p) de B'. on définit enfin une famille D=(c₁,...,c_p) en posant i[1,p], c_i=a_i+b_i.

Réponse: fait

d)Montrer que la famille D est libre.

Réponse: fait

e) Montrer que C=Vect(c₁,...,c_p) est suplémentaire commun à A et B dans A+B.

Réponse: Ici je n'y arrive pas.POuvez vous m'aidez merci d'avance.