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Espace Vectoriel et Application
J'ai un nouvelle exercice ou je coince un peu :
Et en faite, je coince un peu sur la b)
Soit l'application T : R2[X] ---> R2[X]
P(X) ---> 2(X+1)P(X)-(X²-2X+1)P'(X)
a) Montrer que T est une application linéaire
b) Donner la matrice M de T relativement à la base canonique C = {1; X ; X²}
c ) Déterminer la noyau et l'image de T
2) a) Montrer que B = { 1 ; X-1 ; (X+1)² } est une base de E = R2[X]
b) Déterminer les images de T des vecteurs de la base B
c)Déterminer les coordonnées relativement à la base B des images de T des vecteurs de la bases B.
d) Déterminer la matrice N de T relativement à la base B
Pouvez vous m'aider pour la 1)b) ?
Merci !
bonjour
a) la linéarité de T découle de la linéarité de la dérivation et de la distributivité dans l'anneau des polynomes
b) tu calcules T(1), T(X) et T(X²) en fonction de 1,X et X²
c) Tu résouts T(P(X))=0R2[X] ce qui équivalent à
2(X+1)P(X)-(X²-2X+1)P'(X)=0
Tu calcul Det(M)
si det(M)=0 donc P=0
sinon tu pose P(X)=a+bX+cX²
tu calcules T(P) enfonction de a,b etc dans la base (1,X,X²)
et tu résouts le système linéaire
2)a) B = { 1 ; X-1 ; (X+1)² } est une base de E = R2[X]
tu montres que si a et b et c sont des réels tels que a+b(X-1)+c(X+1)²=0
alors a=b=c=0
tu sera amené a utilisé l'argument q'un polynome qui une infinité de zéro est nul donc ses coéfficients sont nuls ca qui t'amène à résoudre un système linéaire dont les solutions sont a=b=c=0
b) c'est un simple calcul
c)de b) tu déduit la matrice Q de passage
d) tu utilise N=Q^-1*M*Q
T(1) = 2(X+1)
T(X) = 2X(X+1)-(X²-2X+1)
T(X²) = 2X²(X+1)-(X²-2X+1)2X
mais je ne vois pas la matrice demandé ...
Peux tu détailler la réponse ?
Merci
T(1) = 2(X+1)= 2x+2
T(X) = 2X(X+1)-(X²-2X+1) = 2x²+2x-x²+2x-1 = x²+4x-1
T(X²) = 2X²(X+1)-(X²-2X+1)2X = 2x3+2x²-2x3+4x²-2x = 6x²-2x
La matrice cherché est la matrice des coeff des polynome dans la base canonique de R2[X]
(2 -1 0)
(2 4 1)
(0 1 6)
je pense que ca doit etre la bonne reponse.
Et pour la question c) Avez vous des idées car je bloque ....
Merci d'avance
Pour le noyau : J'ai essayer de de poser P(x) = a + bX + cX² et P'(X) = b + 2cX
Mais je récupère une l'équation suivante : 2a-b + X(2a + 4b -2c) + X² (b+6c) =0
je pose 2a-b =0 ; 2a + 4b -2c = 0; b+6c=0
ce qui me donne le vecteur nul : (0,0,0) et donc Ker(T) =(0,0,0) ?
Et pour l'image de T, c'est bien ma matrice ?
Im T = ((2,2,0);(-1,4,1);(0,1,6)) ?
Salut 
C'est bon pour la matrice, pour le rang.
(On pouvait aussi justifier en disant que la matrice était inversible donc elle est de rang 3 avec Im(T) = Vect(colonnes de la matrices) et Ker(T)={(0,0,0)}
salut, je m'incruste car cet exo m'interesse aussi.
Nightmare, Pour déterminer le rang d'une matrice M il suffit de montrer que rg(M) 
6 par exemple puis si cette matrice est inversible alors forcement rg(M) = 6 ?
Pourquoi 6? Ici le rang ne peut être que 3 !
Si la matrice (carrée bien sûr) est inversible alors ses colonnes sont libres et donc elle a pour rang son nombre de colonne.
merci pour l'indication, parce que j'ai jamais fait ce lien entre inversibilité et colonnes libres. (ça va certainement me servir pour le DS demain)
pour la question 2)b)
je trouve :
T(b1) = 2X+2
T(b2) = 2X^2-2
T(b3) = 4X^2+4X
Ma matrice Q de passage est bien ( 2 -2 0)
( 2 0 4)
( 0 2 4)
???
Et donc [T(b1)]E = (0,4,4) ?
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