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espace vectoriel et application lineaire
s'il vous plait aidez moi à résoudre ce problème que j'ai commencé merci d'avance ,j'ai des problèmes surtout coté rédaction
soit n
. soit l'espace vectoriel 
n dont la base canonique est
(e1,e2,e3,....,en) AVEC e1(1,0,0,...0),e2(0,1,0,....,0),....,en(0,......,1).l'endomorphisme identité den est noté id .on considéré l'endomorphisme f den défini par :
j{1,2,....,n),f(ej)=
ek (la somme de k=1 jusqu'a n avec k
j)
1) preciser la matrice A de f dans la base
2)soit (D) la droite vectorielle de vecteur directeur uD=e1+e2+.....+en calculer f(uD)
3)on note g l'endomorphisme défini par g=f+id
a) préciser l'image de g .en déduire la dimension du noyau (H) de g
b)calculer f(h) pour tout vecteur h(H) de g
4)montrer que (D) et (H) sont supplémentaires
5) soit (V1,V2,V3,....Vn-1)une base de (H)
a) déterminer la matrice de f dans la base (uD,V1,V2,....,Vn-1)
b)montrer qu'il existe deux réels a2 et b2 QUE L'on déterminera ,tels que :
f^2=a2+b2id ou f^2 =fof
de meme ,montrer que ,pour tout entier p,p
2 ,il existe deux reels aet b que l'on determinera en fonction de p et de n tels que :
f^p=apf+bpid ou f^p=fof^p-1
désolée pour les retards que je faisais c'est du à la connexion ,s'il vous plait aidez moi pour l'image e les autres questions pour l'image j'ai essayé avec le vect mais je me bloque
s'il vous plait j'ai essayé de démontrer que la famille des images B' est une famille libre !! mais je me suis bloqué !! aidez moi svp
tu trouves
donc un vecteur x=a pour image
l'image de g est donc la droite vectorielle
dim(Img)=1=>dim(Kerg)=n-1
b)soit h H=>g(h)=0 donc 0=g(h)=f(h)+h=>f(h)=-h
5)
pour 1
in-1
tu as tout pour écrire la matrice de f dans la nouvelle base ,c'est une matrice diagonale
de premier terme n-1,les autres termes sont égaux à -1
j'ai trouvé l'image est égale a la droite D
je bloque pour montrer que l'intersection est vide pour montrer que (D) et (H) sont supplémentaires
et aussi
b)montrer qu'il existe deux réels a2 et b2 QUE L'on déterminera ,tels que :
f^2=a2+b2id ou f^2 =fof
de meme ,montrer que ,pour tout entier p,p2 ,il existe deux reels aet b que l'on determinera en fonction de p et de n tels que :
f^p=apf+bpid ou f^p=fof^p-1
soit x appartenant à D et H
xD=>f'x)=(n-1)x
xH=>f(x)=-x
on a donc -x=(n-1)x soit nx=0 donc x=0 n n'étant pas nul je suppose
*tu calcules la matrice de fof et tu cherches s'il existe un couple'a,b)de réels tels que fof=af+bIdje trouve a=n-2 et b=n-1 à vérifier
pour fptu fais une récurrence
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