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Espace vectoriel et application linéaire
Bonsoir,
Besoin d'un coup de main pour cet exercice:
E est un sous-espace vectoriel dont une base est . f est un endomorphisme de E tel que:
;
et
.
1. Ecris la matrice de f dans la base B.
2. Montre que ker f est une droite vectorielle et en précise une base .
3. Determine Im f et en précise une base .
4.Montre que (e1; e2 ;e3) est une base de E.
5. Que peux-tu dire de ker f et de Im f?
[Début]
1. Matrice de f dans la Base B:
-1...0...2
0...1...2
2...2...0
2. Le ker f est l'ensemble des vecteurs de E dont l'image par f est un vecteur nul. Ainsi pour tout u(x;y;z) on a :
.
En composant par f , je trouve le système d'équations:
-x+2z=0. (1)
y+2z=0. (2)
2x+2y=0. (3)
En remplaçant les expressions de x et de y (en fonction de z) tirées de l'équation (1) et (2) dans l'equation 3, je me trouve avec l'égalité 0=0...
Je n'arrive pas à trouver l'équation d'une droite (vectorielle ).
bonsoir
ben oui ! ça veut dire que sur les 3 équation il y en a une qui ne sert à rien ! elle est combinaison linéaire des autres.
les 2 premières définissent ton noyau
à partir des deux premieres equations , on trouve x+y=0 ... Et exactement, la troisieme est equivalente à cette eq..
une base de ker f est e1(1;-1)
3) Im f:
soit u(x,y,z) et u'(x',y',z') appartenant à E.
f(u)=u' <=>
-x+2z=x'
y+2z=y'
2x+2y=z'
<=> -2x'+2y'-z'=0 c'est un plan vectoriel dont deux bases sont e2(-1;1;4) et e2(0;2;2).
4) j'ai montré que ces trois vecteurs forment une famille libre donc, ils forment une base.
<=> -2x'+2y'-z'=0 c'est un plan vectoriel dont une bases est ( e2(-1;1;4) ; e2(0;2;2) )...
ton noyau est faux !
il est d'ailleurs facile de vérifier que ton vecteur base du noyau ne vérifie pas tes équations 
Alors, j'essaye de cette façon:
x=2z et y=-2z
Les coordonnées d'un vecteur de kerf a est de la forme (2z; -2z; z);
une base est e1(2;-2;1).
5.
e1; e2 et e3 etant coplanaires , le ker f et l' Im f forment une base de vecteurs...je sais pas si c'est suffisant pour la conclusion attendue...
cela dit tu aimes te compliquer la vie !
une fois qu'on connait Ker(f) on sait que Im(f) est de dimension 2 (théorème du rang)
et comme f(i) et f(j) sont indépendants, ils forment une base de Im(f)
le ker f et l' Im f forment une base de vecteurs.
cela ne veut rien dire !
la réponse à la dernière question n'est toujours pas donnée
le noyau de f étant défini par le système d'équations: x=2z et y=-2z , un vecteur u de l'espace vectoriel E appartient à ker f s'il existe un réel a tel que u a pour coordonnées dans la base B : (2a; -2a ;a).
ce vecteur u appartient à Im f si on a:
-2x+y-z=0
<=> -2(2a)-2a-a=0 => a=0 ce qui implique que u est nul.
Ainsi L'intersection d ' Im f et de ker f se reduit à un vecteur nul: tout vecteur de E s'écrit comme somme d'un vecteur de ker f et d'un vecteur de ker f.
E=Imf (+) kerf : Imf et kerf sont deux sous espaces vectoriels supplémentaires de E.
à partir du moment où tu as montré que la concaténation d'une base de Ker(f) et d'une base de Im(f) forme une base de E, tout ce baratin devient inutile ... 
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