Inscription / Connexion Nouveau Sujet
espace vectoriel et endomorphisme
Bonjour a tous,
je bloque sur l'exo suivant, et je me permets donc de vous le soumettre, en esperant que l'un d'entre vous pourra m'aider :
E est un K espace vectoriel et u un endomorphisme tq :
u2 -5u + 6 Id E = 0
1/ Montrer que E = ker (u-2 Id E) somme directe (u-3Id E
2/ Montrer que u est bijective et detrminer u-1 en fonction de u
Je vous remercie d'avance
si tu as étudié les valeurs propres d'un endomorphisme tu dois savoir prouver que 2 et 3 sont valeurs propres pour u
(ker(u-2idE) et ker(u-3idE) sont les sous espaces propres correspondants)
u²-5u+6idE=0=====>u(u-5idE) = -6idE===>idE=u( (u-5idE)/-6) donc l'inverse de u existe et c'est (u-5idE)/-6 .on pouvait remarquer que 0 n'étant pas valeur propre u est injective donc..
c'est possible,pour la question 2) il n'y a pas de problème,pour la 1) il faut faire la démonstration "à la main" bonsoir
bonsoir,
Pour la 1/, avec un peu d'observation:
x = [u(x) - 2x] - [u(x) - 3x]
Il est facile de montrer que dans le premier crochet, on a un element de ker (u-3Id), et dans le deuxieme, un element de ker(u-2Id).
Reste a montrer que cette somme est directe: soit x dans l'intersection des deux noyaux:
u(x) - 2x = u(x) - 3x = 0, donc x = 0 d'apres l'identite ci-dessus.
A+
biondo
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac