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espace vectoriel euclidien
Bonjour à tous, j'ai besoin de votre aide pour une question
énoncé
A la matrice de M3(
) définie par
A= 1/3 [ 2 2 1
-2 1 2
1 -2 2]
et f l'endomorphisme de matrice A dans une base orthonormée directe de ^3
On me demande de prouver que A est une matrice orthogonale, aucun problème pour celle là
Ensuite on me demande de montrer que f est une rotation, celle la aussi ça va
Mais la question que j'arrive pas à répondre c'est:
Exprimer la matrice de f dans une nouvelle base judicieusement choisie.( et trouver l'angle de rotation).
Donc voilà je ne vois pas comment y répondre 
MERCI D'AVANCE
Bonjour.
-Sachant que c'est une rotation, commence par trouver invariant et norme le (on l'appelle e1)
-Ensuite choisis un vecteur e2 de tel sorte que e1 soit orthogonal a e2 et norme ce vecteur.
-Calcule e3 tel que e3=e1^e2 (e1 vectoriel e2).Ainsi e3 est normé et e3 orthogonal à e1 et e2.
-On sait que cos(
)= f(e2).e2
sin()=f(e2).e3
Pour calculer f(e2) je rapelle qu'il faut multiplier A par la matrice colonne des coordonées de e2 que l'on note X c'est a dire effectuer le produit A.X
Ensuite tu sais que la matrice dans le base (e1,e2,e3) est:
1 0 0
0 cos() -sin()
0 sin() cos()
Il faut trouver une base dans laquelle la matrice de f est de la forme
Le premier vecteur de cette base est un vecteur directeur de l'axe de la rotation, et est l'angle
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