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Espace vectoriel euclidien: endomorphisme orthogonaux et matrice
Bonjour à tous.
J'ai un DM à faire mais je bloque sur quelques questions.
Voici l'énoncé du DM :
Soit E un -ev de dimension
et une forme bilinéaire symétrique (/) définie sur
.
Dans tout le problème, on suppose qu'il existe une base de E telle que, pour tout i,
et on pose, pour tout i et pour tout j,
. On a donc
et
.
On pose pour tout , et pout tout
,
, et on note
={
}
1. Vérifier que est un endomorphisme et déterminer
.
2. Vérifier que est un sev de E et donner sa dimension.
3. Déterminer les valeurs propres et espaces propres de . Caractériser
.
4. Montrer que, pour tout ,
.
Pour la suite, on considère deux entiers distincts i et j de {1,...,n} et on pose .
5. Verifier que est stable par
. Dans toute la suite, on notera
l'endomorphisme induit par
sur
.
6. Ecrire la matrice de dans la base
7. Dans cette question, on suppose que .
(a) Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de .
est-il diagonalisable?
(b) Existe-t-il un entier tel que
?
8. Dans cette question, on suppose que et on note < / > la restriction de ( / ) à
.
(a) Montrer que < / > est un produit scalaire sur et que
est un endomorphisme orthogonal de
pour ce produit scalaire.
(b) Donner une base orthogonale de pour le produit scalaire précédent.
(c) Montrer que et en déduire que
et
sont supplémentaires dans E.
(d) On suppose maintenant qu'il existe un entier tel que
.
i. Montrer que est une rotation dont on précisera l'angle, en convenant que la base
est directe.
ii. Montrer que et que, si
, alors
Les questions 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7(a) ont été traitées en entier mais je bloque sur la question sur les questions 7.(b) et 8.
Merci d'avance.
Bonjour, rudy06.
Si tu ne t'es pas trompé dans les questions précédentes, tu as trouvé que f_{i,j} n'est pas diagonalisable et qu'il en est de même pour sa matrice dans (e_i,e_j) (même dans M_2(C)). S'il existait k tel que (s_i o s_j)^k soit égal à l'identité, f_{i,j} annulerait le polynôme X^k-1, et il en serait de même pour sa matrice dans (i,j). Cette matrice serait donc diagonalisable dans M_2(C), puisqu'elle annule le polynôme X^k-1, scindé et à racines simples sur C. Il y a donc contradiction.
Donc, il est impossible qu'il existe k tel que (s_i o s_j)^k = id
En ce qui concerne la question 8a, <|> définit un produit scalaire si et seulement si sa matrice dans la base (e_i,e_j) est définie positive. Pour montrer qu'une matrice symétrique réelle 2x2 est définie positive, il suffit de montrer que sa trace et son déterminant sont strictement positifs.
Dans ces conditions, la restriction de s_i à E_{i,j} est la symétrie orthogonale par rapport à l'orthogonal de Vect(e_i) dans E_{i,j}. C'est donc un endomorphisme orthogonal. Il en est de même pour la restriction de s_j, et f_{i,j} est un endomorphisme orthogonal comme composé de deux endomorphismes orthogonaux.
8b: On applique le procédé d'orthonormalisation de Schmidt à la base(e_i,e_j) ...
8c: L'intersection de p hyperplans d'un espace de dimension n est de dimension supérieure ou égale à n-p. Comme F_i et F_j sont deux hyperplans ...
Il n'est pas trop compliqué de montrer que l'intersection de F_i,F_j et E_{i,j} est réduite au vecteur nul.
8d: La composée de deux réflexions par rapport à u et v est une rotation dont l'angle est égal à deux fois l'angle de (v,u). Avec ce résultat, (i) et (ii) sont faciles.
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