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Espace Vectoriel Euclidien-Rotations

Posté par
Laurierie 03-06-06 à 15:59

Bonjour, je travaille sur un problèmem portant sur les espaces vectoriels en dimension 3 en guise de révision, et j'ai énormément de mal à aborder ce dernier.

E est l'espace euclidien ^3. R désigne l'ensemble des rotations de E.Si u est un vecteur non nul de E, \sigma_u désigne le demi tour d'axe engendré par u.

1.x et y sont 2 vecteurs unitaires de E.Mq il existe toujours une rotation p  telle que po\sigma_yop^{-1}=\sigma_x.

2.a.Soit \theta un réel non congru à 0 modulo 2Pi et tel que cos\theta>0. Mq qu'il existe un entier naturel n tel que cosn\theta soit supérieur ou égal à 0.
  
b.Soit G un sous groupe de R non réduit à l'identité. J'ai montré qu'il existait un élément de G privé de id tel que pour tout vecteur unitaire u orthogonal à l'axe de \Phi, u.\Phi(u)\le0.

3a.Notons alors i un vecteur unitaire de l'axe de \Phi et v=xi+u.
Calculer v.\Phi(v). Je trouve x^2+cos(\theta).
b.Mq il existe un vecteur unitaire v tel que \Phi(v).v=0.

4.Soit \mu=\sigma_vo\phi o\sigma_vo\sigma^{-1}.Mq \mu est un demi tour dont on précisera l'axe.

5. G sous groupe de R est dis distingué dans R si et seulement si pour tout f de G et pour tout h de R, hofoh^{-1} appartient à G. On suppose ici que G est distingué. Montrer que G contient au moins un demi-tour.

J'ai énormément de mal avec cet exercice, les questions qui me perturbent sont 1,2.a,3.b,4 et 5(notamment car l'énoncé ne dis pas ce qu'est G).

Pourriez vous m'aider, me mettre sur la piste pour ces questions? Merci infiniment

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace Vectoriel Euclidien-Rotations 03-06-06 à 16:08

Bonjour Laurierie

Pour la 1), construit une rotation qui envoie x sur y.
pour la 2)a), je suppose que l'on veut en plus que n soit différent de 1, non ?

Kaiser

Posté par
Laurieriere : Espace Vectoriel Euclidien-Rotations 03-06-06 à 20:57

Re-bonjour Kaiser, en fait je me suis trompé dans la 2, il faut montrer qu'il existe un n tel que cos(n\theta) inférieur ou égal à 0. Merci pour ton aide

Posté par
Laurieriere : Espace Vectoriel Euclidien-Rotations 04-06-06 à 13:29

Je tiens à vous informer que j'ai réussi la 4 et la 5. Il me reste à traiter 2a et 3b. Pourriez vous m'aider? Merci beaucoup

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace Vectoriel Euclidien-Rotations 04-06-06 à 14:23

Bonjour Laurierie

Pour la 2)a) :

\Large{cos(\theta)>0}, donc il existe un entier k \Large{\alpha} dans l'intervalle \Large{]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[} tel que \Large{\theta= \alpha +2kp}.

Ainsi, pour tout n \Large{cos(n\theta)=cos(n\alpha)}.
Comme la fonction cosinus est paire, quitte à changer \Large{\alpha} en \Large{-\alpha}, on peut toujour supposer que \Large{\alpha>0}
(il est non nul car \Large{\theta} est supposé non congru à 0 modulo \Large{2\pi})

Ainsi, \Large{\alpha \in ]0,\frac{\pi}{2}[}.
Maintenant, le tout est de trouver n tel que \Large{n\alpha \in ]\frac{\pi}{2},\pi[}.

Kaiser

Posté par
Laurieriere : Espace Vectoriel Euclidien-Rotations 04-06-06 à 14:54

Merci Kaiser. J'étudie alors la fonction cos(ax) qui est négative sur -Pi/a,Pi/2a. Or la largeur de cet intervalle est 3Pi/2a é Comme a appartient à ]0,Pi/2[ il existe forcément un naturel tel que cos(na) inférieur ou égal à 0. C'est bien ce que j'avais fait mais il m'était impossible de conclure car je n'avais pas fais le raisonnement que tu m'a expliqué.

Peux tu m'aider pour 3b? Merci beaucoup

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace Vectoriel Euclidien-Rotations 04-06-06 à 15:00

Oui, c'est bien ça !
D'un autre côté, on pouvait directement déterminer cet entier (en s'aidant du cercle trigonométrique). Avec \Large{n=E(\frac{\pi}{2\alpha})+1}, ça marche (E désignant la fonction partie entière).
Pour la question 3)b), j'y réfléchis.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace Vectoriel Euclidien-Rotations 04-06-06 à 15:16

Dans la question 3), \Large{\Phi} est bien le même que dans la question 2)b), non ?

Posté par
Laurieriere : Espace Vectoriel Euclidien-Rotations 04-06-06 à 15:45

Oui l'application est bien la même.Merci, j'y réfléchis de mon coté

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace Vectoriel Euclidien-Rotations 04-06-06 à 15:48

Mais dans ce cas, on a \Large{cos(\theta)\leq 0}.
En effet, u est orthogonal à l'axe de \Large{\Phi} donc \Large{cos(\theta)=u.\Phi(u)\leq 0}.

Posté par
Laurieriere : Espace Vectoriel Euclidien-Rotations 04-06-06 à 16:07

En fait c'est moi qui est considéré que \Phi était une rotation d'angle \theta.A vrai dire l'énoncé ne précise pas l'angle de cette rotation.

Mais je crois m'etre trompé.Il faut en fait considéré que c'est une rotation d'angle n\theta pour utiliser 2.a. Et donc en 3.a on trouve x^2+cos(n\theta)  

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace Vectoriel Euclidien-Rotations 04-06-06 à 16:11

OK, donc l'entier n est tel que \Large{cos(n\theta)\leq 0} ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Espace Vectoriel Euclidien-Rotations 04-06-06 à 16:14

Bonjour;
b)Un sous groupe de R non réduit à l'identité de E contient une rotation r d'angle \theta\neq0[2\pi]
Si cos(\theta)\le0 on prendra \Phi=r.
Sinon cos(\theta)>0 d'aprés la question précédente il existe un entier n tel que cos(n\theta)\le0 on prendra alors \Phi=r^n\in G (sauf erreurs)

Posté par
Laurieriere : Espace Vectoriel Euclidien-Rotations 04-06-06 à 16:24

Merci à elhor. Oui Kaiser, l'entier n est tel que cos(n\theta)\le0.

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace Vectoriel Euclidien-Rotations 04-06-06 à 16:28

OK !
Dans ce cas, il suffit de considérer le vecteur \Large{xi+u} avec \Large{x=\sqrt{-cos(n\theta)}} et de le normer (ce vecteur est clairement non nul).

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Espace Vectoriel Euclidien-Rotations 04-06-06 à 16:35

Laurierie c'est quoi \sigma^{-1} dans la question 4 ?

Posté par
Laurieriere : Espace Vectoriel Euclidien-Rotations 04-06-06 à 16:40

Je me suis trompé elhor, je voulais ecrire \Phi^{-1}. Mais ne t'en fais pas j'ai réussi à résoudre 4 et 5.

Merci à tous les deux pour vos explications claires et précises. C'est un plaisir de faire des maths avec votre aide.A bientot

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace Vectoriel Euclidien-Rotations 04-06-06 à 16:44

Pour ma part, je t'en prie !
ce fut un plaisir pour moi aussi !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Espace Vectoriel Euclidien-Rotations 04-06-06 à 16:57

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