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Espace vectoriel, noyau et image d'application linéaire

Posté par
matheux14 10-03-22 à 13:26

Bonjour,

Merci d'avance

Soit G = \left\{P \in \R_3 [X] / \int^{1}_{-1} xP(x) dx = 0 \right\}

1) Montrer que G est un espace vectoriel sur \R.

2) Déterminer une base \beta_0 de G.

3) On considère l'application f définie sur G par f(p)(x) = xp'(x) -p(x)

a) Montrer que f est une application linéaire.

b) Déterminer la matrice M de f relativement à la base \beta_0 et à la base canonique de \R_3 [X].

c) f est-elle bijective ?

d) Déterminer le noyau et l'image de f.

Réponses

1) Montrons que G est  un espace vectoriel.

Montrons que G est un sous-espace vectoriel de \R_3[X].

Soit P0 le polynôme nul.

On a : \int^{1}_{-1} xP_0 (x) dx = 0

Par conséquent G \neq {\Large{\emptyset}}

*Soit P_1 \in G / \int^{1}_{-1} xP_1 (x) dx = 0

*Soit P_2 \in G / \int^{1}_{-1} xP_2 (x) dx = 0

On a : \alpha P_1 + \beta P_2 = \alpha\int^{1}_{-1} xP_1 (x) dx +\beta \int^{1}_{-1} xP_2 (x) dx = \alpha *0 + \beta *0 = 0 \\\\ \alpha P_1 + \beta P_2 = 0

Donc G est un sous-espace vectoriel de \R_3[X]

Par conséquent G est un espace vectoriel

2) Déterminons une base \beta_0 de G.

Soit P \in G / P(x) = ax^3 +bx^2 + cx +d

On a : \int^{1}_{-1} xP (x) dx = \int^{1}_{-1} (ax^4 + bx^3 + cx^2 +dx) dx

= \left[\dfrac{ax^5}{5} + \dfrac{bx^4}{4} + \dfrac{cx^3}{3} + \dfrac{dx^2}{2} \right]^{1}_{-1}

= \left(\dfrac{a}{5} + \dfrac{b}{4} + \dfrac{c}{3} + \dfrac{d}{2} -\left(-\dfrac{a}{5} + \dfrac{b}{4} - \dfrac{c}{3} + \dfrac{d}{2} \right) \right) \\\\\ = \dfrac{2a}{5} + \dfrac{2c}{3}


On a : \int^{1}_{-1} xP (x) dx= 0 \Rightarrow \dfrac{2a}{5} + \dfrac{2c}{3} = 0 \\\ \dfrac{2a}{5} =  \dfrac{2c}{3} \\\ a =-\dfrac{5}{3} c

P(x) = -\dfrac{5cx^3}{3} + bx² + cx + d \\\ P(x) = bx² + c\left(x - \dfrac{5}{3} x^3\right)

Posons P_0 = 1 , ~P_1 = x^2, ~P_3 = x-\dfrac{5}{3}x^3

Donc \beta_0 = \left\{P_0 ;~P_1 ; ~P_2)\right\}

3) L'application f définie sur G par f(p)(x) = xp'(x) -p(x)

a) Montrons que f est une application linéaire.

Soit P_1, ~P_2 \in G et \alpha, \beta \in \R

On a :

f(\alpha P_1 +\beta P_2)(x) = x(\alpha P_1 +\beta P_2)'(x) -(\alpha P_1 +\beta P_2) = x(\alpha P'_1 (x)  +\beta P'_2(x))- (\alpha P_1 +\beta P_2) = \alpha(x P'_1(x) - P_1 (x)) +\beta( P'_2(x) - P_2(x)) \\\ f(\alpha P_1 +\beta P_2)(x) = \alpha f(P_1(x))(x) + \beta f(P_2)(x)

Par conséquent l'application f est linéaire.

3-b) Déterminons la matrice M de f relativement à la base \beta_0 et la base canonique de \R_3[X]

On a : beta_0 = \left\{1 ~;~ x²~;~ x- \dfrac{5}{3}x^3 \right\} et beta =  \left\{1 ~;~ X~;~ X^2~;~X^3 \right\}

f(P_0)(x) = x*0 -1 = -1 = {\red{-1*0 + 0*x + 0*x²+0*x^3}

f(P_1)(x) = x*2x -x² = x² =  {\blue{0*1 + 0*x + 1*x²+0*x^3}

f(P_2)(x) = x*(1-5x²)-x + \dfrac{5}{3}x^3 = - 5x^3 + \dfrac{5}{3}x^3 = -\dfrac{10}{3} x^3 =  {\green{0*1 + 0*x + 0*x²+\left( -\dfrac{10}{3}\right)*x^3}

M= \begin{pmatrix} f(P_0) & f(P_1) & f(P_2)\\ -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -\dfrac{10}{3} \end{pmatrix}

c) dim G = 3

dim \R_3[X] = 4

dim G  \neq dim \R_3[X] donc f n'est pas bijective.

d) Déterminons le noyau et l'image de f.

Ker(f) = \{P \in G / f(P)(x) = 0\}

f(P)(x) = 0 \iff xP'(x) - P(x) = 0 \iff x² P'(x) - xP(x) = 0 \iff  \int^{1}_{-1} x²P'(x)-\int^{1}_{-1} xP(x) dx = 0 \iff \int^{1}_{-1} x²P'(x) dx = 0

Posons u = x² ~~;~~ v'(x) =P'(x) \\\ u' = 2x ~~;~~ v(x) =P(x)

f(P)(x) = 0 \iff \left[x²P(x)\right]^{1}_{-1} - 2\int^{1}_{-1} xP(x) dx = 0 \\\ \iff  \left[x²P(x)\right]^{1}_{-1} = 0 \\\ \iff P(1) - P(-1) = 0 \\\ \iff P(1) = P(-1)

Prenons P(x) = a_0 + a_1 x + a_2x²  + a_3x^3

P(1) = P(-1) \iff a_0 + a_1 + a_2 + a_3 = a_0 +a_1 +a_2 - a_3 \\\ 2a_1 +2a_3 = 0 \\\ a_1 = -a_3 (*)

Comme xP'(x) - P(x) 0, alors x(a_1 + 2a_2x+3a_3x^2) - (a_0 + a_1x+a_2x^2+a_3x^3) = 0

= -a_0+ a_2 x^2 + 2a_3x^3 = 0 par identification on a : \begin{cases} a_0 = 0 \\ a_2 = 0 \\ a_3 = 0 \end{cases} et avec (*) ; on a : a_1= 0

Par conséquent P(x) = 0_{\R_3[X]}

D'où Ker(f) = \{0_{\R_3[X]}\}

3-b) À travers la matrice M= \begin{pmatrix} f(P_0) & f(P_1) & f(P_2)\\ -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -\dfrac{10}{3} \end{pmatrix} on a :

f(P_0) = -1 = -P_0

f(P_1) = x^2 = -P_1

f(P_2) = -\dfrac{10}{3}x^3 = -\dfrac{10}{3}x^3 = -\dfrac{10}{3}x^3 P_3 où P_3 = x^3

Donc Im(f) = \left< -P_0 ~;~ P_1 ~;~-\dfrac{10}{3} P_3 \right>

Im(f) = \left<\begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} ~;~\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} ~;~ \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ -\dfrac{10}{3} \end{pmatrix} \right>

Posté par
carpediemre : Espace vectoriel, noyau et image d'application linéaire 10-03-22 à 16:54

salut

3c/ f est une application de G dans G

quand on demande si f est bijective c'est donc relativement à G ... et non pas à R3 [x] ...

Posté par
carpediemre : Espace vectoriel, noyau et image d'application linéaire 10-03-22 à 16:57

3d/ je ne ne comprends pas trop ce que tu fais ...

f est une application de G ...

et on sait comment s'écrivent les polynomes de G : voir 2/

donc tu peux calcules les intégrales ...

Posté par
matheux14re : Espace vectoriel, noyau et image d'application linéaire 10-03-22 à 17:56

Citation :
3c/ f est une application de G dans G


Donc f est un endomorphisme de G.

Du coup il faut montrer que f est un automorphisme ou pas.

Si une matrice M(f, A) est inversible alors f est bijective. Avec A=(e1,...,en) une base de G.

La matrice M(f, A)  étant un endomorphisme. Si M(f , A) est inversible son est rang n.
D'après le théorème du rang, le noyau de M est réduit à {0},  d'où l'endomorphisme M  est injectif.

On est en dimension finie donc M(f , A) est bijectif.

C'est peut être pour cela que l'énoncé demandais de trouver une base \beta_0 de G.

Je vais essayer de voir..

Posté par
matheux14re : Espace vectoriel, noyau et image d'application linéaire 10-03-22 à 18:08

Mais voyant l'énoncé de la question 3) On considère l'application f définie sur G par f(p)(x) = xp'(x) -p(x) ;

On peut dire que l'application f est de G dans \R_3[X] puisque f(p)(x) = xp'(x) -p(x) est un polynome non ?

Posté par
carpediemre : Espace vectoriel, noyau et image d'application linéaire 10-03-22 à 18:37

oui effectivement : f(P) n'est pas nécessairement un élément de G ...

désolé ...

Posté par
larrechre : Espace vectoriel, noyau et image d'application linéaire 10-03-22 à 18:52

Bonsoir,

C'est aussi comme ça que j'ai compris la question (sinon, pourquoi parler des 2 bases). Mais alors, pourquoi parler de bijection ? Si elle existe, elle ne peut être que de G dans G.
???

Posté par
carpediemre : Espace vectoriel, noyau et image d'application linéaire 10-03-22 à 19:13

ha merci larrech

je trouve cet énoncé ambigu en ne précisant pas les ensembles de départ et d'arrivée ...

on peut exprimer f dans la base B_0 tout comme dans la base "canonique" de R3[x]

à voir ce qui se passe ensuite ...

Posté par
larrechre : Espace vectoriel, noyau et image d'application linéaire 10-03-22 à 21:11

G n'est pas stable par f.

Mais si P\in G, P=aP_0+bP_1+cP_2 et on a bien f(P)=-a+bX^2-10cX^3/3


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