Bonsoir,

1. est bien un exemple d'espace vectoriel de dimension 4, mais c'est pas le seul.

2. On munit de la base canonique. F est un sous-espace vectoriel de ,

c'est le sous-espace engendré par les vecteurs et qui ont pour coordonnées respectives et
(c'est à dire l'ensembles des vecteurs de qui sont combinaisons linéaires de et ).

Il n'y a pas de lien avec les matrices.

3. c'est un sous-espace vectoriel de , et il n'y a pas de lien avec les matrices.

ok , et F et G sont de dimension 2 étant donné que ce sont des matrices à 2 colonnes ?

il n'y a pas de matrices, ce sont les coordonnées d'un vecteur.

<(1,2,3,-2),(0,-1,1,-1)> c'est en fait une famille de vecteurs,
si elle est libre, l'espace engendré qui est F est de dimension 2, sinon F est de dimension 1.

Il en est de même pour G.

une famille est dite génératrice si tout vecteur de F peut s'écrire comme une combinaison linéaire d'un vecteur u de F , donc en fait l'équation à résoudre pour trouver une famille génératrice de F c'est :

x = ?
2x - y = ?
3x + y = ?
-2x - y = ?

je serai tenté d'écrire a,b,c,d mais ça me ferait 8 inconnues ça fait bcp lol vous trouvez pas ?

Oui surtout qu'ici ça ne sert à rien.

F est défini de cette façon : F = Vect<(1,2,3,-2),(0,-1,1,-1)>,

c'est à dire F est le sous-espace engendré par la famille <(1,2,3,-2),(0,-1,1,-1)>,

c'est à dire <(1,2,3,-2),(0,-1,1,-1)> génère F.

C'est une façon de construire des sous-espaces.
On prend une famille de vecteurs, elle est génératrice d'un sous-espace.

Ici c'est comme ça qu'on a construit F.

oui je sais mais si on me demande de trouver une famille génératrice de F je fais comment ?

ben tu donnes <(1,2,3,-2),(0,-1,1,-1)>

oui mais ça m'arrange pas car la question c'est de trouver une famille génératrice de F+G , donc je dois bien résoudre une équation tu es d'accord ?

et j'en reviens au meme probleme , que dois je écrire comme équation ?

x + 2z + 2t = ?
2x - y + 3z + t = ?
3x + y + z = ?
-2x -y -z -t = ?

ok, oui c'est pas pareil.


F = Vect<(1,2,3,-2),(0,-1,1,-1)>

G = Vect<(2,3,1,-1),(2,1,0,-1)>

Vérifie que <(1,2,3,-2),(0,-1,1,-1),(2,3,1,-1),(2,1,0,-1)> est une famille génératrice de F+G avec la définition de F+G
(ça parait naturel qu'on "additionne" les deux familles génératrices pour former une famille génératrice de F+G vu que F+G est une "addition" de F et G, reste à la vérifier)

oui mais j'en repose tjs la meme question : comment vérifier que <(1,2,3,-2),(0,-1,1,-1),(2,3,1,-1),(2,1,0,-1)> est une famille génératrice de F+G , je ne sais pas quoi résoudre comme équation ou système...
d'ailleurs dans mon cours j'ai rien qui explique ce que veut dire F+G tu peux m'éclairer la dessus s'il te plait ?

Alors, je t'ai donné la définition de F+G dans mon post du 02/12/2007 à 02:02 au point 3.

C'est aussi un sous-espace vectoriel et c'est pas difficile à vérifier, on l'appelle somme de F et G. Après il n'y a pas besoin d'en savoir plus sur cette notion, du moins pour l'instant.

Les équations tu en feras plein, ne tinquiète pas, ici c'est pas la peine de se prendre la peine avec, ici c'est beaucoup moins relou.



tu utilise la définition de F, la définition de G qu'on t'a donné qui te dit que

.) tout vecteur de F est combinaison linéaire de  (1,2,3,-2) et (0,-1,1,-1),

ie pour tout , il existe tel que .

.) tout vecteur de G est combinaison linéaire de  (2,3,1,-1) et (2,1,0,-1),

ie pour tout , il existe tel que .

.) tout vecteur de F+G s'écrit sous la forme où et .


Reste à mettre sous la forme d'une combinaison linéaire de (1,2,3,-2),(0,-1,1,-1),(2,3,1,-1) et (2,1,0,-1), ce qui est quasi-immédiat.

romu ta dernière phrase me choque :

"Reste à mettre x sous la forme d'une combinaison linéaire de (1,2,3,-2),(0,-1,1,-1),(2,3,1,-1) et (2,1,0,-1), ce qui est quasi-immédiat."

c'est quoi le système d'équations ?

x + 2z + 2t = ?
2x - y + 3z + t = ?
3x + y + z = ?
-2x -y -z -t = ?

je veux savoir quoi mettre à la place des points d'interrogations pour trouver ma famille génératrice...

Soit un vecteur de F+G, il existe et tel que .

Par définition de F, il existe tels que .

Par définition de G, il existe tels que .

Donc .


Par conséquent <(1,2,3,-2),(0,-1,1,-1),(2,3,1,-1),(2,1,0,-1)> est une famille génératrice de F+G.

Et on a pas eu besoin de faire un système d'équations.

ok c'est plus clair et je pense pouvoir affimer que ya une infinité de familles génératrices en fait , t'es d'accord , vu qu'on peut donner les valeurs qu'on veut à a,b,c,d , tant que ça rest proportionnel

oui c'est l'idée, mais éviter de prendre la valeur 0 pour a,b,c, et d, on pourrait avoir un souci.

ok , je continue l'exercice il reste 2 petites questions archi simples que je fais actuellement je te les montre après , je pense pouvoir les résoudre

petite paranthèse , c'est quoi les f et g dans ton post précédent , tu les définis comment , ce sont des applications , des combinaisons linéaires ?

Ben je l'ai défini dans mon post de 15:23,

f est un élément de F, donc c'est un vecteur,

et g est un élément de G, donc c'est un vecteur.


Bon je m'absente, je reviens plus tard.

alors cette famille est elle libre ?

je résouds ce système pour le savoir

a+2c+2d=0
2a-b+3c+d=0
3a+b+c=0
-2a-b-c-d=0

a,b,cet d vallent 0 donc la famille est libre et en plus c'est une base de F+G vu qu'elle est génératrice et libre , tu es ok ?

je suis d'accord.