Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Espaces euclidiens

Posté par
maths-rix 29-05-08 à 19:32

salut. J'ai un exo de colle que je n'arrive pas à résoudre.

On considère \mathbb{R}^n muni de sa structure euclidienne canonique et a = (a_1,...,a_n) \in \mathbb{R}^n , a0.

Déterminer les matrices dans la base canonique des projections orthogonales sur \mathbb{R}a et  sur (\mathbb{R}a)^{\perp}

------------------------------------------------------------------------------------------

on a \mathbb{R}^n \in vect((1,0,...0),...,(0,...0,1)) = vect(e_1,...,e_n)

maintenant il faut déterminer les images de (e_1,...,e_n) par l'application p

p(e_1) = \mathbb{R}a = \lambda a.

(p(e_1)/a) = \lambda (a/a) = \lambda ||a||^2 .... je bloque là.

Pouvez vous m'aider s'il vous plait. merci

Posté par
maths-rixre : Espaces euclidiens 29-05-08 à 19:51

Je me demande si (p(e_1)/a) = (e_1/a) = a_1

si c'est vrai on aura alors (p(e_1)/a) = \lambda (a/a) = \lambda ||a||^2

puis (p(e_1)/a) = a_1   

D'ou a_1 =\lambda ||a||^2

et donc \lambda = \frac{a_1}{||a||^2}

suis je sur la bonne voie ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Espaces euclidiens 29-05-08 à 20:14

Salut

tu sais très bien que pour une projection orthogonale sur un sev F muni d'une base orthonormale (l_1,..l_n):   p(x)=\Bigsum_{i=1}^n<l_i,x>e_i

Pour une projection sur \mathbb{R}a, un  vecteur directeur normé est \frac{a}{||a||}

donc p(x)=<x,\frac{a}{||a||}>\frac{a}{||a||} donc: p(x)=\frac{<x,a>}{||a||^2}a

Ainsi:

3$\rm p(e_1)=\frac{<e_1,a>}{||a||^2}a=\frac{a_1}{||a||^2}, ..., 3$\rm p(e_k)=\frac{<e_k,a>}{||a||^2}a=\frac{a_k}{||a||^2}, ..., 3$\rm p(e_n)=\frac{<e_n,a>}{||a||^2}a=\frac{a_n}{||a||^2}

Et hop tu as ta matrice

Pour la projection sur 3$\rm (\mathbb{R}a)^{\perp}, utilise le fait que: 3$\rm P_{(\mathbb{R}a)^{\perp}}=Id-P_{\mathbb{R}a}

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Espaces euclidiens 29-05-08 à 20:15

Bien sur c'est :


3$\rm p(e_1)=\frac{<e_1,a>}{||a||^2}a=\frac{a_1}{||a||^2}a, ..., 3$\rm p(e_k)=\frac{<e_k,a>}{||a||^2}a=\frac{a_k}{||a||^2}a, ..., 3$\rm p(e_n)=\frac{<e_n,a>}{||a||^2}a=\frac{a_n}{||a||^2}a

Posté par
maths-rixre : Espaces euclidiens 29-05-08 à 20:54

Je bn'y arrive vraiment pas pour (\mathbb{R}a)^{\perp}

Un peu plus d'indication svp ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Espaces euclidiens 29-05-08 à 20:59

Bon je t'ai dit:

si p est la projection orthogonale sur F parallélement à F' et p' la projection orthogonale dur F' parallélement à F alors p+p'=Id (F'=F^{\perp})

Donc la matrice de P' est: \Large mat_B(P')=I_n-mat_B(P)

Donc: \Large mat(P_{(\mathbb{R}a)^{\perp}})=I_n-mat_BP_{\mathbb{R}a}

Posté par
maths-rixre : Espaces euclidiens 29-05-08 à 21:18

ah ok, juste pour être sûr sur la matrice de projection sur \mathbb{R}a :

elle s'écrit :4$A=\(\array{\frac{a_1}{||U||^2}&.&.\\\frac{a_2}{||U||^2}&.&.\\.&.&.\\.&.&.\\.&.&.\\.&.&.\\.&.&.\\\frac{a_n}{||U||^2}&.&.}\)

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Espaces euclidiens 29-05-08 à 21:28

C'est plutôt : 3$\rm A=\(\array{\frac{a_1^2}{||a||^2}&.&.\\\frac{a_1a_2}{||U||^2}&.&.\\.&.&.\\.&.&.\\.&.&.\\.&.&.\\.&.&.\\\frac{a_na_1}{||U||^2}&.&.}\) non ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Espaces euclidiens 29-05-08 à 21:28

3$\rm A=\(\array{\frac{a_1^2}{||a||^2}&.&.\\\frac{a_1a_2}{||a||^2}&.&.\\.&.&.\\.&.&.\\.&.&.\\.&.&.\\.&.&.\\\frac{a_na_1}{||a||^2}&.&.}\) non ?

Posté par
maths-rixre : Espaces euclidiens 29-05-08 à 21:53

ah ok. merci


Si on demandé de trouver la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à (\mathbb{R}a), c'est quoi la méthode ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Espaces euclidiens 29-05-08 à 22:01

Utlise le fait que s=2p-Id

Posté par
maths-rixre : Espaces euclidiens 29-05-08 à 22:27

et par rapport à (Ra) orthogonal c'est quoi la formule ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Espaces euclidiens 29-05-08 à 22:29

tu as p+p'=Id

On a: s'=2p'-Id=2(Id-p)-Id=Id-2p

Posté par
maths-rixre : Espaces euclidiens 29-05-08 à 22:33

lol ok, finalement pour trouver les matrices des symétries, il suffit de manipuler les matrices trouvés auparavant.

merci pour l'aide.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Espaces euclidiens 29-05-08 à 23:06

Tout à fait !

Pas de prob


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !