Bonjour,

Explicite le produit scalaire, je suppose sur les polynômes de degré au plus  n .

Bonjour,
de quel produit scalaire parlez vous?

Il n'y a ni ps (et donc ni norme ni distance )
Tu développes  (k²- ak - b)² et ta somme fera intervenir les S_p(n) := ₀ⁿ k^p (p {1,2,3,4} .

Bonsoir,

Bien tu dois trouver le produit scalaire.

Ca doit être  < f, g> =    ,   f  et  g  sont des polynômes de degrés au plus  n .

Ce qui fait que  <f,f> est positif et s'annule si et seulement si  f  a  n+1 racines donc est le polynôme nul .

Bonjour,
@kybjm
En developpant, je trouve effectivement un polynome de degré 4 mais il y a des coefficients, comment vous vous en debarassez? De plus, est ce que le fait qu'on cherche l'inf de cette somme pourrait suggérer des valeurs pour a et b?
@lolo271
Considerez vous f(k)=g(k)=k²-ak-b? et pourriez vous expliquez pourquoi  f  et  g  sont des polynômes de degrés au plus  n ?

Tu as à calculer Inf{ q(a,b) | (a,b) ²}  où q(a,b) est un polynôme de degré 2 en a et b .
En remplaçant a par x = a + et b par y = b + (où et   sont convenablement choisis ) tu es ramené(e) à calculer Inf_(x,y)(f(x,y))  où f est de la forme f(x,y) = ux² + vxy + wy² + h .

Bien  je prends des polynômes de degrés au plus  n  de façon à avoir le carré d'une norme pour  <f,f>  (si tu prends des polynômes de degrés >n ) on pourrait avoir  <f,f> nul sans que  f ne soit nul , et l'espace ne serait pas euclidien .

comme te le dis ton cours , le Inf est alors atteint pour   a + bX = le projeté orthogonal de  X² .

Notons que pour  n = 0 , 1 le calcul doit se faire séparément sinon X² n'appartient pas à ton espace.

Donc il  faut  < X²- (a + bX) , 1 > = 0  et   <X² -(a+bX) , X> = 0 .

La première relation est  n(n+1)(2n+1)/ 6 = an + b n(n+1)/ 2  soit encore  (2n+1)/6 = a + b(n+1)/2 , je te laisse faire l'autre.