bonjour
[b]<=[/b]
supposons BON de E telle que
i{1,2,...,n} et non nuls sinon B ne serait pas une base de E

donc

or dans B l'expression du produit scalaire est




or dans B :

donc

soit
ceci pour tout i donc
or ceci est la trace de a dans la base B qui est la meme dans la base canonique car la trace ne depend pas de la base choisie...
donc Tr(a)=0

supposons tr(a)=0
donc a_{11}+a_{22}+......+a_{nn}=0
    dans la base canonique qui est orthonormale pour le produit scalaire usuel, nous obtenons
(a(e_1),e_1)+(a(e_2),e_2)+.......+(a(e_n),e_n)=0
q(e_1)+q(e_2)+.......+q(e_3)=0
or q est definie est positive car c'est la forme polaire du produit scalaire
donc si x0  q(x)>0

ainsi q(e_1)=q(e_2)=......q(e_n)=0


donc la base canonique convient

désolé mais c'est la démo que j'avais proposé au prof mais il parait que l'on ne peut pas affirmer que q(x)>0 (et oui cela n'est pas vrai pour les formes polaires d'endomorphismes auto-adjoints) ,en fait il faudrait faire une démo par récurrence .
Pour l'initialisation il faut calculer q(v1+...+vn) où v1,..,vn sont des vecteurs propres de v on trouve que cela fait 0.
C'est le passage de n à n+1 qui me bloque, en tout cas merci de vous être penché sur mon problème.

ça serait sympa si quelqu'un avait la réponse à mon problème, car je cherche depuis pas mal de temps sans aboutir, sinon tant pis.