Inscription / Connexion Nouveau Sujet
espaces euclidiens : Schmidt et projections
Bonjour à tous et joyeux noel.
Voila j'aurai besoin d'un petit coup de main pour des exos que j'ai à faire pour la rentrée sur les espaces euclidiens. Globalement je ne pense pas qu'ils soient insurmontables mais on a terminé rapidement la leçon donc tout n'est pas très bien rentré.
Merci d'avance pour tout coup de pouce et biensur bonnes fêtes.
1- Trouver une base canonique de 
3 dont le premier vecteur est 1/(1,0,-2)
à mon avis il faut utiliser le procédé de Schmidt avec comme premier vecteur de la base orthonormée 1/(1,0,-2) et ensuite utiliser le produit scalaire canonique.
2-Pour la base canonique de 3, soit P le plan d'équation x+y-z=0, soit le vecteur X(1,1,1). Constuire une base orthornormée de P pour le produit scalaire canonique ; la compléter en une base orthonormée de 3. Quel est le point le plus proche de X ?
la je nage. je ne vois pas d'ou partir pour construire avec le produit scalaire canonique une base orthornormée de P, peut etre poser F=Vect[(1,0,1),(0,1,1)]?
3-Donner la matrice pour la base canonique de la projection orthogonale sur le plan engendré par U(1,1,1) et V(0,1,3).
Peut etre poser X(x,y,z) tel que <X,U> = <X,V> = 0.
Bonjour.
La méthode d'orthogonalisation de Schmidt est fastidieuse. Quand on peut s'en passer ...
Exercice 1
Je pose u = (1,0,-2)
Le plan vectoriel (P) orthogonal à u a pour équation (P) : x - 2z = 0
Prenons un vecteur quelconque dans (P) : v = (0,1,0)
Il reste à choisir w dans (P) et orthogonal à v.
Si tu connais le produit vectoriel ...
Sinon, tu poses w = (a,b,c) et tu indiques qu'il est dans (P) et qu'il est orthogonal à v.
Enfin, il faudra normer w.
effectivement c'est moins lourd qu'en utilisant le procédé de Schmidt.
Au sujet des autres exercices, auriez vous une idée?
Exercice 2.
C'est presque du programme de première.
a) Prenons dans P un vecteur quelconque u = (1,0,1)
Il faut donc trouver v = (a,b,c) tel que :
1°) v € P <=> a - b + c = 0
2°) v orthogonal à u : (u|v) = a + c = 0
Ces deux conditions te conduisent à une infinité de solutions du type (a,-2a,-a).
En prenant a = 1 (par exemple) : v = (1,-2,-1)
Pour w c'est très simple, on regarde l'équation de P et on prend w = (1,1,-1)
Evidemment, il faut maintenant normer :
U = (1,0,1)
V = (1,-2,-1)
W = (1,1,-1)
b). Ta question n'est pas très claire, je pense que tu as oublié : le point de P le plus proche de X.
Dans ce cas tu appliques le théorème du cours : c'est le projeté orthogonal p(X) de X sur P
Or, on sait que :
Je te laisse faire les calculs. Rapidement, je trouve p(X) = (-1,4,3) à confirmer.
Annuler
connectez vous
géométrie en post-bac