Niveau Maths sup

Espaces isométriques

Posté par
Pythix 23-09-07 à 17:06

Bonjour,
je n'arrive pas à montrer que pour $n\geq 2$ $(\R^{n},||.||_{2})$ n'est isométrique ni à $(\R^{n},||.||_{1})$ ni à $(\R^{n},||.||_{\infty})$

merci pour toute aide!

Posté par re : Espaces isométriques 23-09-07 à 17:07

Bonjour,
qu'as tu fait ?
Il y'a des inégalités qui s'imposent.

Posté par re : Espaces isométriques 23-09-07 à 17:10

je pensais prendre $x_{1},x_{2} \in E$ tels que $||x_{1}|| \not= ||x_{2}||$ et montrer que $||f(x_{1})||=||f(x_{2})||$

mais sans succès

Posté par re : Espaces isométriques 23-09-07 à 17:15

Bonjour

Je ne vois pas exactement ce que tu entends par "isométrique", mais peut-être en prenant le vecteut v(1;1;1...1), les normes 1 et 2 sont différentes. c'est ça?

Posté par re : Espaces isométriques 23-09-07 à 17:18

un evn E est dit isométrique à un evn F si il existe un isomorphisme linéaire f: E->F préservant les normes
c'est a dire $||f(x)||_{F}=||x||_{E}$

Posté par re : Espaces isométriques 23-09-07 à 17:53

Il me semble qu'il faut écrire l'égalité avec les (ei), base de Rn normée pour la norme de départ, et montrer que le fait que f soit linéaire aboutit à une contradiction sur la deuxième norme.

Posté par re : Espaces isométriques 23-09-07 à 18:10

j'ai essayé, mais j'arrive dans des calculs sans fins...

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