Bonjour,
Je rencontre quelques difficultés sur l'exercice suivant :
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On note que l'on munit du produit scalaire .
Pour , on pose et .
1. Pour , résoudre l'équation . Montrer que admet une solution non nulle telle que si, et seulement si, .
2. Soit . Montrer que et sont de classe sur et calculer et .
3. On pose . Soit . Montrer que est de classe sur , que et que . Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de .
4. Montrer que, si , . Montrer que les espaces propres de sont deux à deux orthogonaux.
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1. J'ai répondu à cette question (d'ailleurs il semble qu'il y ait une erreur d'énoncé ; il doit plutôt s'agir de ).
2. J'ai utilisé le théorème fondamental du calcul différentiel/intégral et trouver et .
3. C'est là que je bloque. En dérivant, je trouve et alors qu'on suppose seulement que f est continue...
Merci d'avance pour votre aide.
Bonjour.
1) Qu'est-ce que ça change pour et de savoir que est positif ou non ? Le signe n'a aucun impact sur l'équation ou la condition.
2) Ok.
3) Je ne suis pas d'accord avec ta dérivée. Il semble que tu fais une confusion : il ne s'agit pas de dérivée la composée de deux fonctions ici. On a . On ne dérive donc pas la composée , mais la fonction ... Il faut utiliser le résultat de la question précédente.
(d'ailleurs, tu devrais te rendre compte qu'il y a un problème dans ce que tu écris : peut ne pas avoir de sens, puisque n'est définie que sur , alors que ne prend pas forcément ses valeurs dans )
A méditer.
Merci d'avoir répondu rapidement Arkhnor.
1. J'avoue, je n'ai pas fait attention au carré... (parce que sans le carré, selon le signe de omega, la solution est soit une combinaison de cos et sin soit une combinaison de ch et sh). Bref, je retire ce que j'ai dit !
3. Je viens de comprendre que ce que j'ai écrit n'a aucun sens ici vu le domaine de définition de f. Merci ! Par contre, phi est bien la composée des fonctions S et T donc je ne vois pas pourquoi la formule de dérivation d'une composée n'est pas applicable ici...
Donc, en utilisant la question 2, il vient . C'est bien ça ?
Oui, merci beaucoup, c'est bien plus clair maintenant.
J'essaye maintenant de déterminer les éléments propres de .
Soit .
et .
On a donc soit .
Mais comment poursuivre ? Je pense qu'il faut utiliser le fait que et le résultat de la question 1, mais j'aurais besoin d'un petit coup de pouce
Et bien, dérive deux fois l'équation que tu as avec la valeur propre. Il suffit juste de rassembler toutes les informations dont tu disposes et d'en tirer profit : on a une équation qui relie et , et partout où on regarde dans ce qui précède, ce sont les dérivées secondes qui interviennent, donc on dérive deux fois l'équation.
A ce stade des choses, on a même plus besoin des formules explicites pour T et S, toutes leurs propriétés ont été résumées auparavant.
Oui, en dérivant deux fois on obtient qui est l'équation différentielle de la question 1.
Mais vu qu'on suppose seulement f continue, comme justifier ce calcul ?
En fait, il faut utiliser et .
Donc supposons que : .
C'est mieux comme ça vu qu'on a prouvé que est deux fois dérivables et qu'en plus c'est sur cette fonction qu'on a des informations (conditions aux limites).
J'ai montré la relation demandée à la question 4, mais je n'arrive pas à conclure.
Si j'avais montré que , j'aurais réussi à conclure mais là je n'y arrive pas.
Je vois bien qu'il est question de redémontrer le fait que les espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux, mais je bloque.
Bonjour.
Désolé, je répond un peu en retard ... J'espère que ça ne te pénalise pas trop.
C'est exactement la même démonstration que pour les endomorphismes auto-adjoints. (d'ailleurs, est auto-adjoint ...)
Si et sont des vecteurs propres de associés respectivement aux valeurs propres et , avec , alors on a .
En utilisant le fait que et la propriété que tu as démontré, on arrive à quelque chose d'intéressant.
Bref, il s'agit juste de mélanger toutes les hypothèses et d'agiter ...
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