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espaces vectoriel
salut tout le monde.j ai encore beaucoup de problemes avec le cours des espaces vectoriels.surtout ce qui est des algebres,le noyau et l'image d une application lineaire...
j ai trouvé cet exercice et je n ai pas pu l entamer.l exercice est comme suit:
E un R-espace vectoriel et h endomorphisme de E tel que h²=I(I designe l indentité de E).
1.Montrer que E=ker(h+I)(+)ker(h-I).(supplementaire)
2.Soit l application f:R²------>R²
(x,y)--->(-2x+y,x-2y)
a.Montrer que f est un automorphisme de R² considré comme R-espace vectoriel.
b.Montrer que f²+4f+3I=0 , en deduire l application reciproque (f)-1 en fonction de f.
c.montrer que f est pas une homothetie.
d.on convient que : f°=I,montrer que (quel que soit n appartenant a N)(il existe un couple (An,Bn)unique appartenant a R²) tel que f a la puissance n =Anf+BnI
avec: A(n+1)= -4An+Bn
B(n+1)= -3An
*** message déplacé ***
je me suis trompé et j ai envoyé mon message sans dire merci a toute personne qui se donnera du soucis pour m aider.merci beaucoup
*** message déplacé ***
Bonsoir.
Regardons déjà ce qui se passe dans ces deux noyaux.
a € Ker(h+I) <=> (h+I)(a) = 0 <=> h(a) = -a
b € Ker(h-I) <=> (h-I)(b) = 0 <=> h(b) = b
L'idée est de faire apparaître ce type d'objets. Après quelques essais, je te propose ceci.
Pour tout x de E, écrivons : x = (1/2)(x - h(x)) + (1/2)(x + h(x)) = A + B
h(A) = (1/2)(h(x) - x) = - A. Donc, A € Ker(h+I)
h(B) = (1/2)(h(x) + x) = B. Donc B € Ker(h-I).
Conclusion : tout x de E s'écrit comme la somme d'un élément de Ker(h+I) et d'un élément de Ker(h-I). Ceci prouve que : E = Ker(h+I) + Ker(h-I).
Il reste à prouver que cette somme est directe. Pour cela, montrons que Ker(h+I)
Ker(h-I) = {0}
Soit x € Ker(h+I)Ker(h-I). Alors h(x) = x et h(x) = -x. Donc, x = -x, donc x = 0.
Conclusion :
A plus RR.
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