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espaces vectoriels

Posté par matoblige (invité) 13-02-07 à 21:26

bonsoir tout le monde,
voila jai qq pb pr resoudre une question: on a F et G 2 sous espaces vectoriels de E tels que la reunion de F et G est reduite a 0, et on me demande de montrer que la reunion dune famille libre de F et dune famille libre de G est une famille libre de E;
Puis avec u appartenant a E, montrer que (u,f(u)) est libre. (f etant un isomorphisme de E dans E )
si vous pouviez maider...merci davance

Posté par
raymond Correcteurespaces vectoriels 13-02-07 à 21:37

Bonsoir.

Ce doit être plutôt l'intersection de F et G qui est réduite à 0.

A plus RR.

Posté par matoblige (invité)re : espaces vectoriels 13-02-07 à 21:39

euh oui en effet je me suis trompé, mais ca m'avance pas plus...^^

Posté par
raymond Correcteurre : espaces vectoriels 13-02-07 à 21:51

Soient (fi) une base de F et (gj) une base de G.

2$\textrm\Bigsum_{i=1}^{p}a_i.f_i + \Bigsum_{j=1}^{q}b_j.f_j = 0

2$\textrm => \Bigsum_{i=1}^{p}a_i.f_i = -\Bigsum_{j=1}^{q}b_j.f_j

La partie gauche est dans F, la partie droite dans G. Or, le seul élément à la fois dans F et G est 0. Donc :

2$\textrm\Bigsum_{i=1}^{p}a_i.f_i = 0 et \Bigsum_{j=1}^{q}b_j.f_j = 0

Par indépendance, tous les ai et tous les bj sont nuls. Donc la réunion des bases de F et de G est libre. Cette réunion contient p + q éléments.

Supposons que E = F + G.
Alors, dim(E) = dim(F) + dim(G) - dim(FG) = dim(F) + dim(G) = p + q.

Conclusion : on a bien une base de E.

A plus RR.

Posté par matoblige (invité)re : espaces vectoriels 13-02-07 à 22:03

...merci bcp


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