Bonjour.

1°) Ker(f - e) et Ker(3f² + 2f + e) supplémentaires dans E

Il est facile de voir que : 3f³ - f² - f - e = 0 <=> (f -e)o(3f² + 2f + e) = 0
Comme P(X) = X - 1 et Q(X) = 3X² + 2X + 1 sont premiers entre eux, le théorème de Bezout prouve l'existence de deux polynômes U et V tels que UP + VQ = 1.
Alors, U(f)oP(f) + V(f)oQ(f) = e.
Donc, pour tout x de E, x = (3f² + 2f + e)[V(x)] + (f - e)[U(f)(x)] = x' + x", x' € Ker(f - e), x" € Ker(3f² + 2f + e)
Ceci prouve que E = Ker(f - e) + Ker(3f² + 2f + e)
Pour montrer que la somme est directe on cherche x € Ker(f - e) Ker(3f² + 2f + e).
On a f(x) = x et 6x = 0, donc, x = 0.
Conclusion E = Ker(f - e)Ker(3f² + 2f + e)

Ici on peut même trouver U et V :
U(X) =
V(X) =
Cela donne x' = [3f²(x) + 2f(x) + x] et x" = [-3f²(x) - 2f(x) + 5x]

2°) Recherche de f

Si on suppose f distinct de E, cela signifie que dim(Ker(f-e)) = 0 ou 1.

a) Dim(Ker(f-e)) = 0

Alors, E = Ker(3f² + 2f + e). Soit u un vecteur non nul de E (donc, 3f²(u) + 2f(u) + u = 0).
Supposons que f(u) = a.u. Alors, cela entraine : (3a² + 2a + 1).u = 0 : impossible dans R.
Cela signifie que si u est un vecteur non nul quelconque de E, u et f(u) sont indépendants. Nous allons donc prendre pour base de E : B = (u,f(u)).
Cherchons M = Mat(f,B). Pour cela, il faut connaître les images sur B des deux vecteurs de la base.
f(u) = 0.u + 1.f(u)
f(f(u)) = f²(u) = -.u - .f(u)

D'où :

b) Dim(Ker(f-e)) = 1

Cela veut dire que dim(Ker(3f² + 2f + e)) = 1. Soit v un vecteur non nul dans Ker(3f² + 2f + e). Comme le sous-espace Ker(3f² + 2f + e) est f-stable, cela signifie que f(v) € Ker(3f² + 2f + e), donc que f(v) = a.v.
Ceci implique : (3a² + 2a + 1).v = 0. Ce qui est impossible.
Donc ce cas ne peut pas se réaliser.

Voilà ce que j'ai trouvé. La dernière partie 2°) b) me semble étonnante !

A plus RR.

Si f était l'identité en quoi cela nous aurait gêné ?

Si f = e, le problème est réglé. On connait f.
Si f e, la seule possibilité est donc : 3f² + 2f + e = 0.
Dans ce cas, je te renvoie à la forme de la matrice que j'ai trouvée en 2°) a).

A plus RR.