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Espaces vectoriels
Bonjour tout le monde,
Bien qu'on n'étudie pas en terminale le noyau et tout ça, mais j'ai rencontré un exercice qui en a une relation avec. (C'est ce que je pense 
)
Soit (E,+,.) un espace vectoriel réel et f une application de E vers F tel que:
On pose: {
1- Montrer que: si F est un ensemble non vide de E er réalise:
Alors (F,+,.) est EV réel.
2- Montrer que (f(E),+,+) est un EV réel
3- Montrer que (Ker f, +,.) est un EV réel.
(je donnerai la suite après avoir traité ces premières questions)
Merci d'avance pour votre aide.
on a.0+b.0 = 0 qui appartient donc à F.
On a x+(-1).y qui appartient à F, donc (F,+) est un sous-groupe commutatif de (E,+)
Quelques soient le réel a et le vecteur x, on a a.x + 0.x = a.x qui appartient donc à F.
Quelques soient les vecteurs x,y et les réels a,b, les inégalités suivantes étant vraies pour E, elles restent vraies pour F.
a.x+a.y = a.(x+y),
(a+b).x = a.x+b.x,
(ab).x = a.(b.x),
1.x = x.
Oui. Donc (F,+,.) est EV réel.
pour la deuxième? (je ne pense pas qu'on doit utiliser les endomorphismes?)
je ne pense pas qu'on doit utiliser les endomorphismes?
Non pas la peine, juste le fait que f(ax+by) = af(x)+bf(y).
non pas la peine.
Si tu connais la notion de sous-espace vectoriel,
tu peux montrer que f(E) est un sous-espace de F et donc un espace vectoriel.
Sinon tu fais comme la question précédente,
en montrant que f(E) est un sous-groupe commutatif de F, à l aide de la surjectivité de f : E --> f(E) et de l'égalité f(ax+by) = af(x)+bf(y).
Ensuite tu montres que l espace est stable pour la multiplication externe,
et ensuite les quatre inégalités étant vraies dans F elle reste vraie dans E.
Non. C'est pas pour cette année les sous-espaces vectoriels 
Où dois-je utiliser la surjectivité? à la fin, pour dire que pour tout x.....?
f(0) = f(0+0) = f(0)+f(0), et f(0) est dans F qui est un sous-espace,
D'où 0 = f(0)-f(0) = f(0)+f(0) - f(0) = f(0).
Donc 0 est dans f(E).
Soit .
Comme f est surjective de E dans f(E),
il existe tel que
et
.
On a de plus .
Comme ,
.
Donc (f(E),+) est un sous-groupe commutatif de (F,+).
Je te laisse montrer la stabilité de la multiplication externe.
Oui en montrant que Ker f est un sous-groupe de E (si c'est un sous-groupe de F, c est bon ici mais pas en général).
On a f(0) = 0 donc 0 appartient à ker f.
tu prends deux éléments x et y de ker f.
On a f(x+(-1)y) = f(x)+(-1)f(y) = 0+(-1)0 = 0, donc x+(-1)y est dans ker f.
Donc (ker f,+) est un sous-groupe commutatif de (E,+).
Pour tout réel a, f(a.x) = a.f(x) = a.0 = 0, donc a.x est dans ker f.
vous voyez les espaces vectoriels, les groupes et les sous-groupes, et la surjectivité en terminale, mais pas les sous-espaces vectoriels.
Il est rigolo ton programme.
la surjectivité c'est en première :lol; (ensembles et applications)
Cette année, on voit les lois de composition interne, groupes,sous-groupes/anneaux/corps , EV (familles, bases...) , systèmes linéaires. 
(C'est pas très dur les structures cette année ! )
sûrement. Ca donne un niveau pour les classes prépas
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