bonjour
Soit E un J ev , p et q deux projecteurs de E
j'ai montré que p o q + q o p = 0 => poq = qop= 0
maintenant je dois donner le noyau et l'image du projecteur p+q mais je ne vois pas du tout comment les trouver .
Pourriez vous m'aiguillez ?
merci
bonsoir,
*soit x un élément de Ker(p+q) on a donc (p+q)(x)=p(x)+q(x)=0 (1)
(1)=>p(p(x)+q(x))=p(0)=0 soit p²(x)+pq(x)=0 mais p²=p et pq=0 donc p(x)=0=>xKer(p)=>Ker(p+q)Ker(p)
tu montres de la même façon que Ker(p+q)Ker(q)
que peux-tu en déduire?
attention
on a Ker(p+q)ker(p)et Ker(p+q)ker(q)=>ker(p+q)(ker(p)ker(q)) mais il ne faut pas oublier de vérifier que (ker(p)ker(q))ker(p+q) pour pouvoir conclure qu'il y a égalité
pour répondre à ta question:tu traduis les données ,tu écris que x est dans le noyau de p+q ,que p est projecteur et que pq=0
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