Bonjour,

j'ai un BTS électrotechnique et je suis en année de remise à niveau pour faire une école d'ingénieur avec mon entreprise.
Du coup les mathématiques c'est un peu lointain et en plus ils commencent avec les espaces vectoriels et c'est vraiment la galère.

En résumé toute aide pour comprendre les éléments du cours et pour faire les exercices suivants sera plus que la bienvenue.

Exercice 1

On se place dans l'ensemble F des fonctions à valeurs réelles définies sur [0;1]

1) On définit f+g pour f et g appartenant à F par: (f+g)(x)=f(x)+g(x)

On définit aussi a.f pour a réel et f appartenat à F par: (a.f)(x)=a.f(x)

Montrer que dans ces conditions, (F,+,.) est un espace vectoriel sur l'ensemble des réels.

ATTENTION: veiller à bien faire la différence entre l'opération "+" qui additionne les réels, et
l'opération "+" qui additionne les fonctions (pour laquelle on ne connait aucune autre propriété
que la définition...) De même pour l'opération "." (multiplication de 2 réels, et multiplication d'une
fonction par un réel...)

Il faut aussi bien différencier f+g, qui est une fonction, et (f+g)(x), qui est la fonction (f+g)
appliquée au réel x... (f+g)(x) est donc un réel.

2) Soit F1 le sous-ensemble de F des éléments f de F qui vérifient f(1/2)=2.f(1).

Est-ce que F1 est un sous-espace vectoriel de F?

3) Même question pour F2, le sous-ensemble de F des éléments f de F qui vérifient 2.f(0)=f(1)-1.

Exercice 2

On se place dans l'espace vectoriel E des polynômes de degré au plus égal à 2.

Soit B la famille de 3 polynômes {1,X,X²}.

1) En écrivant un polynôme quelconque de E sous la forme a+bX+cX², montrer que B est une
famille génératrice de E (c'est à dire que tout polynôme de E peut s'écrire sous la forme d'une
combinaison linéaire d'éléments de B).

2) Montrer que B est une famille libre de E. En déduire que B est une base de E.

3) Si un polynôme P a pour coordonnées (a,b,c) dans la base B, quelles sont les coordonnées de son
polynôme dérivée P' dans la base B?

4) L'application qui à un polynôme P fait correspondre son polynôme dérivé P' est-elle une
application linéaire? Si oui quel en est le noyau?

Merci d'avance!