Inscription / Connexion Nouveau Sujet
espaces vectoriels
Bonjour, j'ai un problème avec cet exercice:
Soit U=(u1,u2,...,un) une famille de vecteurs de K^n qui est muni de sa base canonique (e1,e2,e3,e4). On suppose qu'il existe des salaires a1,...,an tous non nuls tels que:
u1=a1e1 et pour tout k appartenant à [2,n], uk-akek appartient à vect((e1,...,ek)).
Montrer que U est une base de E.
Je ne vois pas vraiment comment m'y prendre,
par stablité d'un sev par +, j'ai uk appartient à vect((e1,...,ek)), mais je ne sais pas si c'est vraiment utile...
Merci d'avance pour votre aide
Non, on commence les matrices, mais on n'a pas encore vu la notion de déterminant, désolée...
Qu'à cela ne tienne !
On va procéder autrement.
Tu peux, par exemple, montrer que la famille est libre en faisant ainsi :
Soient .
Montre que tous les coefficients sont nuls en commençant par le dernier.
Merci beaucoup, mais ce qui me gêne pour appliquer ce que vous me dites, c'est que dans la relation donnée par l'énoncé, le scalaire n'est pas devant les uk mais devant les ek...
Les scalaires que je considère sont des scalaires autres que ceux de l'énoncé (qui eux sont fixés une fois pour toutes).
Je comprends mieux... mais alors je ne vois pas comment faire le lien avec la relation de l'énoncé pour montrer que les coefficients sont tous nuls...
Par hypothèse, on a avec
On a donc
Toujours par hypothèse, le terme mis entre parenthèses est un vecteur de
Comme est une base, c'est une famille libre et on en déduit que le terme de droite est nul.
Tu vois où je veux en venir maintenant ?
Kaiser
Oui, c'est bon, je vois, j'ai réussi à finir cet exercice, merci beaucoup.
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac