a- montrer que pour tout p on a Ker(f^p)Ker(f^(p+1)) et Im(f^(p+1))Im(f^p)
on suppose pour la suite que E est de dimension finie.

soit x € Ker(f^p), f^p(x)=0
Donc f^(p+1)(x)=0
Soit y € Im(f^(p+1))
Il existe x€E tq y=f^(p+1)(x)=f^(p)(f(x))
Donc y€Im(f^p)

b-montrer qu'il existe un plus petit entier naturel r tel que Ker(f^r)=Ker(f^(r+1))

On a Ker(f^r) inclus dans Ker(f^(r+1))
Et dimE=n
Supposons que les inclusions soient strictes jusqu'à Ker(f^(n-1)) inclus dans Ker(f^n)
On a donc dim(Ker(f^n))=n=dimE
Et dim(Ker(f^(n+1))<=n
On en déduit l'égalité voulue

Bon si tu as compris le début tu vas ptet pouvoir chercher de façon plus efficace. Bon courage.

Bonsoir maude

Pour le a)

Soit x un élément de Ker(f^p)
On a f^p(x)=0 donc f(f^p(x))=f(0), i.e f^(p+1)(x)=0 et donc x appartient aussi a Ker(f^(p+1)) d'où l'inclusion.

Le raisonement est à peu près le même pour l'autre inclusion.

Pour le b) il faut sûrement utiliser le fait que E est un espace vectoriel de dimension fini
La 1ere partie de la c) se déduit alors de la b) grâce au théorème du rang et en utilisant le a), puis pour la 2eme partie de la question un raisonement par récurrence devrait faire l'affaire.

Voilà voilà, bon courage
À vérifier tout de même.

merci pour les réponses, c'est super sympa de répondre! et vite en plus! je vais voir tout ça.
si quelqu'un peut m'aider pour cette question là:

nombre algébrique sur =tout nombre complexe racine d'au moins un polynôme non nul à coefficients rationnels
montrer que tout nombre rationnel est algébrique sur

SOit  r  un rationnel alors  X- r  est un polynôme à coefficients rationnels qui s'annule en  r .

lolo

Bonsoir;
Si il est clair que le polynome est non nul,à coefficient dans et admet pour racine donc est algébrique sur .
Sauf erreurs...

bonsoir, je vais à nouveau avoir besoin de vos lumières.

nombre algébrique sur Q = tout nombre complexe racine d'au moins un polynôme non nul à coefficients rationnels
1- montrer que tout nombre rationnel est algébrique sur Q
si z nombre complexe, on pose Q[x]:=vectQ{z^n,n}, montrer que sqrt2 et i sont algébriques sur Q.
2- on cherche à montrer que z est algébrique sur Q ssi Q[z] est de dimension finie sur Q.
a. z un nombre algébrique, P un polynôme de degré n à coefficients rationnels tel que P(z)=0.
Montrer que z^n est une combinaison linéaire à coeffs rationnels de 1,z,..,z^(n-1) puis plus généralement que pour tout entier p, le nombre complexe z^p est dans vectQ{1,z,..,z^(n-1)}.
en déduire que Q[z] est de dimens° finie sur Q.
b. réciproquement, soit z un complexe tel que Q[z] soit de dimension finie égale à N. Montrer que z est algébrique sur Q (on pourra considérer la famille {1,z,..,z^(n-1)}.
3- si z est un nombre algébrique, soit Iz l'ensemble des polynômes à coefficients rationnels dont z est racine.
justifier le fait que {deg(P), PIzprivé de {0}} admet un plus petit élément, noté dz.
4- calculer dz pour z rationnel et pour z=sqrt2.
5-a. montrer que pour tout nombre algébrique z, la famille {1,z,z²,z^(dz-1)} est une base de Q[z] (on pourra utiliser la première partie de 2- a.) et en déduire la dimension de cet espace vectoriel.
b. z1 et z2 2 nombres algébriques, montrer que {z1^i,z2^i, o<=i<=dzi-1,0<=j<=dz2-1} est une famille génératrice de Q[z1*z2] et de Q[z1+z2].
en déduire, à l'aide de 2-, que l'ensemble des nombres algébriques est un sous-anneau de C.

j'ai beau chercher, je suis bloquée. merci d'avance.