Bonsoir,

Il te suffit de montrer que est non vide, et que, pour toute fonction et de , et tous réels et ,
appartient à F.

Nicoco

Bonsoir.
Sauf erreur de ma part, les fonctions affines (type f : x ---> f(x) = ax + b) vérifient la relation proposée.
Cordialement RR.

Bonjour,
Comme  E n'est pas "naturellement" un espace vectoriel...tout ça est un peu dur mais bon ...

lolo

j'ai du mal a montrer que f est stable par cominaison linéaire avec les fonctions,je comprends pas!
pouvez vous m'aider?

Bonsoir.
Tu sais qu'une fonction f de R vers R permet d'associer à chaque réel x une image f(x). Cette fonction est un objet mathématique en lui même. Appelons E l'ensemble de toutes les fonctions de R vers R. E contient par exemple f : x --> f(x) = 2x - 3, g : x --> g(x) = exp(x), ...et bien d'autres !
Dans la plupart des cas en mathématiques, on a intérêt à construire sur les ensembles des "opérations". E n'y échappe pas :
1°) on construit une addition. La somme de deux fonctions f et g est la nouvelle fonction notée f + g définie par f + g : x --> (f+g)(x) = f(x) + g(x).
Avec les exemples qui précèdent, f + g : x --> (f+g)(x) = 2x - 3 + exp(x).
2°) on construit une "multiplication" par un réel. Si f est une fonction et a un réel, la nouvelle fonction af est définie par af : x --> (af)(x) = af(x)
Avec les exemples qui précèdent : la fonction 4f - 3g est définie par :
4f - 3g : x --> (4f - 3g)(x) = 4(2x - 3) - 3(exp(x)).
As-tu compris les deux "opérations" sur les fonctions ?
Ces deux opérations ont énormément de propriétés que l'on exprime en disant que E, muni de ces deux opérations est un R-espace vectoriel. Maintenant, revenons à ton exercice : parmi toutes les fonctions de E, on en sélectionne un certain nombre : celles qui vérifient pour tout x dans R, f(x+2) - 2f(x+1) + f(x) = 0 : je l'appelle la condition (C). Soit F leur ensemble.
Là se posent les questions suivantes :
1°) existe-t-il de telles fonctions ? c'est-à-dire F est-il non vide ?
2°) si oui, F est-il un R-espace vectoriel (donc sous-espace de E).
Pour répondre à 1°) il faut trouver un exemple de fonction vérifiant (C).
Considérons la fonction nulle O, c'est celle qui est définie par O : x --> O(x) = 0. On voit bien qu'elle vérifie (C).
2°) pour voir si F est un sous-espace vectoriel de E, il faut montrer que les fonctions qui vérifient (C) sont "stables" pour les deux opérations : f et g vérifiant (C), a-t-on encore f+g vérifie (C) ? Pour tout réel a, si f vérifie (C) a-t-on encore af vérifie (C) ?
Pour faire cette vérification en une seule fois, on regarde si :
étant données f et g vérifiant (C) et deux réels quelconques a et b, af + bg vérifie encore (C).
Voilà, j'espère t'avoir aidé à mieux comprendre ton problème.
Cordialement RR.

merci bcp pour votre aide,mais j'ai toujours du mal a comprendre comment les deux fonctions f et g peuvent elles vérifier la condition C qui elle ne dépend que de f?

Lorsque tu écris f(x) = 5x + 4, x remplace n'importe que réel. Donc, dans la condition (C), la lettre f représente n'importe quelle fonction. Tu pourrais aussi bien l'écrire :
F(x+2)-2F(x+1)+F(x)=0.
Alors, si f et g vérifient (C) : f(x+2)-2f(x+1)+f(x)=0 et g(x+2)-2g(x+1)+g(x)=0.
Soit maintenant F = af+bg. Tu dois montrer que F(x+2)-2F(x+1)+F(x)=0.
F(x+2)-2F(x+1)+F(x) = (af+bg)(x+2)-2(af+bg)(x+1)+(af+bg)(x) = ...
Essaie de finir toi-même, tu dois btenir 0 à la fin.

ok je vais le faire!
Merci beaucoup pour votre aide!

j'ai réussi a finir mon exercice!
merci bcp pour votre aide!!
Je cherche maintenant un exemple de vecteur de F qui ne soit pas la fonction nulle,mais je ne vois pas trop comment faire ni comment le démontrer!
Peut on m'aider?

coucou alaide!
Essaye avec les fonctions affines f(x)=ax+b
tu remplaces dans ton équation et tu dois trouver 0