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espaces vectoriels
Bonjour,
J'ai un exercice qui me pose des difficultés :
1. Soit F le sev de 
4 engendré par la famille {v1, v2, v3}, avec v1=(1,3,-1,0), v2=(5,4,-2,1), v3=(-13,5,1,-4).
Déterminer la dimension de F et en donner une base.
2. G=Vect(u1 ,u2), avec u1=(1,3,0,0) et u2)=(6,7,-3,2).
a) Montrer que B={ v1, v2, u1 ,u2} est une base de 4.
b) Soit v=(x,y,z,t). Donner ses coordonnées dans la base B.
c) Déduire de 2.a) que F
G=
.
d) Exprimer G comme l'ensemble des solutions d'un systeme lineaire homogene.
3. Soit H le sev défini par H={(x,y,z,t)
4/3x-y+7t=0 et x+y+4z-2t=0}/
a) Déterminer une base de H.
c) Montrer que v1 et v2
H. En déduire une base de FG.
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Voici mes quelques réponses :
1. Avec la méthode du pivot de Gauss aux colonnes, dim(F)=2. Je ne sais pas comment trouver la base.
2.a) J'ai résolu : 
1v1+2v2+3u1+4u2=v et j'ai trouvé une solution unique pour chaque, donc B est bien une base.
b) c) d) ?
3.a) ?
b) J'ai réussi à montrer que v1 et v2H mais je bloque sur lasuite de la question.
Merci de votre aide
Salut, je prefere qu'un correcteur vienne confirmer ce que je vais te dire mais voici qques aides:
1) Pour ta base, tu considères les 2 colonnes où tu n'as pas trouvé de pivot nul : elles forment alors une famille libre F ( sauf erreurs...).De plus, cette famille est de longueur 2 : donc c'est une base de F.
2)b) : je laisse le soin à qqun d'autre de faire les calculs si bon lui semble, mais il te suffit de décomposer tes 4 vecteurs dans la base B ( je vois pas la complexité là dsl...)
2)c) On a trouvé une base B de R4, d'après 2a) , on en déduit alors que cette base a été obtenue par concaténation d'une base de F ( que je t'ai dit pour le 1) ) et d'une base de G. En effet, tu sais que la famille(u1,u2) est génératrice avec le Vect. Il te suffit alors de démontrer qu'elle est libre et le tour est joué.
Tout cela entraine alors que les sous-espaces F et G de R4 sont supplémentaires dans R4 donc leur intersection est légendairement nulle.
Je cherche pour la suite... 
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