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espaces vectoriels
Bonsoir , veuillez m'aider a voir un peu plus clair.
Soit l'application f : R^4⟶ R^3 définie par :
f(e1) =(1,-1,0) ;f(e3)=(1,1,2) ;f(e2)=(0,-2,3).
Maki001Maki001Maki001Maki001Maki001
Bonsoir , veuillez m'aider a voir un peu plus clair.
Soit l'application f : R^4⟶ R^3 définie par :
f(e1) =(1,-1,0) ;f(e3)=(1,1,2) ;f(e2)=(0,-2,3).
. Soit l'application f : R^4⟶ R^3 définie par :
f(e1) =(1,-1,0) ;f(e2)=(-1,0,1) ;f(e3)=(1,-1,2) ,f(e4)=(0, -2 ,3). J'aimerais savoir si l'image de f est toujours egale a :Imf=Vect { f(e1) ;f(e2) ;f(e3) ; f(e4) }
Bonjour
Oui, bien sur, c'est la définition de l'image.
Bonjour ,
Peux tu etre plus clair dans ta question?
As-tu déterminé Ker(f)? Comment sais-tu qu'il est de dimension 1?
Oui, l'image est le sous-espace engendré par une base, la canonique, pourquoi pas?
As-tu déterminé Ker(f)? Comment sais-tu qu'il est de dimension 1?
Oui, l'image est le sous-espace engendré par une base, la canonique, pourquoi pas?
Comment as tu trouvé ces dimensions?
Bonjour Camelia
Kerf= { (x,y,z,t)
R4 / f(x,y,z,t)= (0,0,0)}
Apres résolution j'ai trouvé kerf = Vect { ( -3,-4,-1,2)}
Bonjour à tous, je ne fais que passer promis !
Oui, l'image est le sous-espace engendré par une base, la canonique, pourquoi pas?
Plutôt : le sous-espace engendré par les images des vecteurs d'une base
Je pense que la confusion de l'auteur venait de là : si (e1, e2, e3, e4) est une base, il n'y a pas de raison que (f(e1), f(e2), f(e3), f(e4)) en soit une. Donc l'espace engendré par (f(e1), f(e2), f(e3), f(e4)) (c'est-à-dire l'image de f) n'est pas forcément de dimension 4
* Modération > Citation inutile effacée. *
le seul problème est que dans ce cas précis l'espace engendré par (f(e1), f(e2), f(e3), f(e4)) est un espace de 4 vecteurs linéairement indépendants donc ils forment une base de l'image de f. Par conséquent l'image de f est de dimension 4.
Bonjour,
J'aimerais savoir si l'image de f est toujours egale a :Imf=Vect { f(e1) ;f(e2) ;f(e3) ; f(e4) }
Ce qui n'est pas vraiment dit dans
Soit l'application f : R^4⟶ R^3 définie par :
La définition de l'image de f quand on a une application de E dans F, c'est l'ensemble des f(x) quand x décrit E.
Quand on est en présence d'un endomorphisme avec E espace vectoriel de base (e1, e2, e3, e4), alors, par propriété, l'image de f est le sous espace vectoriel engendré par (f(e1), f(e2), f(e3), f(e4)).
Dans l'exemple dont il est question ici, l'espace d'arrivée est de dimension 3 ; donc les 4 vecteurs f(e1), f(e2), f(e3), f(e4) ne peuvent pas engendrer un espace de dimension 4.
Je répète d'une autre manière :
L'image de f est incluse dans
3 qui est de dimension 3.
Donc l'image de f est de dimension inférieure ou égale à 3.
Bonjour,
J'aimerais savoir si l'image de f est toujours egale a :Imf=Vect { f(e1) ;f(e2) ;f(e3) ; f(e4) }
Ce qui n'est pas vraiment dit dans
Soit l'application f : R^4⟶ R^3 définie par :
La définition de l'image de f quand on a une application de E dans F, c'est l'ensemble des f(x) quand x décrit E.
Quand on est en présence d'un endomorphisme avec E espace vectoriel de base (e1, e2, e3, e4), alors, par propriété, l'image de f est le sous espace vectoriel engendré par (f(e1), f(e2), f(e3), f(e4)).
Dans l'exemple dont il est question ici, l'espace d'arrivée est de dimension 3 ; donc les 4 vecteurs f(e1), f(e2), f(e3), f(e4) ne peuvent pas engendrer un espace de dimension 4.
Je répète d'une autre manière :
L'image de f est incluse dans
3 qui est de dimension 3.
Donc l'image de f est de dimension inférieure ou égale à 3.
Imf = {U 3, 
W 4 / f(W) = U}
ou
Imf = {(a,b,c) 3, (x,y,z,t) 4 / f((x,y,z,t)) = (a,b,c)}
Bon, alors maintenant, il est plus que temps de nous donner un vrai énoncé :
Où est clairement écrit que f est un endomorphisme.
Où la question n'est pas "trouver l'image" sans préciser sous quelle forme on demande cette image.
* Modération > Citation inutile effacée. *
On considère les ensembles 3 et 4 munis de leurs bases canoniques ,B3=(e1,e2, e3 ) , B4(e1,e2,e3,e4), respectivement . SOIT L'application f: 4
3 définie par ; f(e1)= (1,-1,0) ,f(e2)=(-1,0,1), f(e3)= (1,-1,2) ,f(e4)= (0,-2,3).
1. Déterminer la matrice de f relativement aux bases B3 et B4.
2. Pour tout vecteur u=(x,y,z,t) 
4, calculer son image f(x,y,z,t).
3. Déterminer le noyau kerf de f.L'application f est-elle injective?
4. Déterminer l'image Imf de f. L'application est-elle surjective ? Déduire si f est bijective.
Il manque le mot endomorphisme ou linéaire dans la définition de f.
Si le noyau de f est de dimension 1, quelle est la dimension de l'image de f ?
* Modération > Citation inutile effacée. *
En tout cas c'est comme ça que j'ai vu l'exercice. Si la dimension de kerf= 1 alors la dimension de l'image de f est 3.
Pour répondre, utilise le bouton "Répondre" sous le message" au lieu de citer.
Tu as eu raison d'interpréter endomorphisme. Mais l'énoncé n'est pas correct, sauf s'il y a un titre explicite auparavant.
Oui la dimension de l'image de f est 3 d'après le théorème du rang.
On a donc un sous espace vectoriel de dimension 3 inclus dans un espace vectoriel de dimension 3. Tu ne vois pas ce qu'on peut en déduire ?
Non non. J'aimerais juste savoir s'il y a un moyen de trouver les coordonnées de ces trois vecteurs ?
Quels trois vecteurs ?
Ce qui a pu te perturber, c'est la confusion faite par l'énoncé qui donne le même nom aux vecteurs de 4 et de 3.
Base canonique de 4 : (e1, e2, e3, e4) avec e1 = (1,0,0,0) e2 = (0,1,0,0) e3 = (0,0,1,0) et e4 = (0,0,0,1)
Base canonique de 3 : (e'1, e'2, e'3) avec e'1 = (1,0,0) e'2 = (0,1,0) e'3 = (0,0,1).
Une remarque pour finir :
f(e1) =(1,-1,0) ; f(e2)=(-1,0,1) ; f(e3)=(1,-1,2) ; f(e4)=(0, -2 ,3).
f(e1), f(e2) et f(e4) contiennent un 0.
On peut trouver assez facilement des réels a,b,c tels que f(e3) = af(e1) + bf(e2) + cf(e4).
De rien, et à une autre fois sur l'île
Bonjour
le seul problème est que dans ce cas précis l'espace engendré par (f(e1), f(e2), f(e3), f(e4)) est un espace de 4 vecteurs linéairement indépendants ....
certainement pas, à partir du moment où ces 4 vecteurs vivent dans un espace de dimension 3 : aucune chance qu'ils soient indépendants
Oui, ça avait déjà été dit :
Dans l'exemple dont il est question ici, l'espace d'arrivée est de dimension 3 ; donc les 4 vecteurs f(e1), f(e2), f(e3), f(e4) ne peuvent pas engendrer un espace de dimension 4.
Je répète d'une autre manière :
L'image de f est incluse dans
3 qui est de dimension 3.
Donc l'image de f est de dimension inférieure ou égale à 3.
je suis parfaitement d'accord avec vous.
J'en profite pour faire une recommandation @Maki001 :
La prochaine fois, essaye de poster un vrai énoncé recopié du 1er au dernier mot, sans rien y changer, dès le départ.
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