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Espaces vectoriels
Bonjour,
J'aurais besoin d'aide pour ce dm, surtout pour les deux premières questions car je suis un peu perdu svp.
Merci d'avance.
** image supprimée **
Bonjour
merci de prendre connaissance de notre règlement pour poster des images
extrait de 
la FAQ du forum :Q05 - Puis-je insérer une image dans mon message ? Comment faire ? Quelle image est autorisée ?
alaidesvp
Bonjour,
J'aurais besoin d'aide pour ce dm, surtout pour les deux premières questions car je suis un peu perdu svp.
Merci d'avance.
** image supprimée **
On se place dans R^n avec n ≥ 2 un entier fixé. On considère une famille libre de vecteurs B = (b1, b2, . . . , bn) de R^n et on pose Vp = Vect(b1, . . . , bp) pour tout entier p ∈ {1, . . . , n}.
1. Quelle est la nature géométrique de V1 ? Vérifier qu'il existe un unique vecteur g1 ∈ V1 tel que ⟨b1, g1⟩ > 0
et ∣∣g1∣∣ = 1. Faire une figure illustrant la situation et interpréter g1.
2. Quelle est la nature géométrique de V2 ? Montrer qu'on peut trouver α ∈ R tel que (b1, b2 −αb1) soit une
base orthogonale de V2. Faire une figure illustrant la situation (on fera notamment figurer les vecteurs
b1, b2 et b2 − αb1).
Bonjour,
Commençons par le 1).
On a . Quelle est la nature géométrique d'un sous-espace engendré par un seul vecteur non nul ? Sous quelle forme peuvent s'écrire les éléments de
?
Le sous-espace engendré par un seul vecteur non nul est une droite vectorielle donc V1 est une droite vectorielle.
Et on peut écrire les éléments de V1 sous la forme :
Vect(b1) = {λ1b1 | λ1 ∈ R}
Bien.
Remarque : pas besoin de mettre un indice au . Ça ne fait qu'alourdir la notation.
Maintenant tu cherches un dans
tel que
et
. Vois-tu comment procéder en utilisant la description que tu as donnée des éléments de
?
Du coup on suppose g1= λb1
Si on prend b=(x;y) (avec x,y =/= 0) alors g1=(λx; λy)
Condition 1 : (b1;g1)>0
Équivalent à x(λx)+y(λy)>0
λx^2 + λy^2>0
λ(x^2 + y^2)>0
Donc λ > 0
Condition 2 : ||g1||=1
Alors g1=1/||b1|| * b1
Donc λ = 1/||b1||
(b1,g1)=(b1, λb1) = λ|| b1||^2 >0
Donc λ>0
||g1|| =|| λb1||= |λ| ||b1|| = 1
| λ|=1/||b1||
λ=1/||b1||
?
Ça serait totalement convaincant si tu expliquais comment tu passes de l'avant-dernière ligne à la dernière.
Merci beaucoup.
Pour la figure illustrant la situation est-ce bien comme cela ? Et l'interprétation de g1 c'est dire que g1 est un vecteur unitaire ?
En ce qui concerne la deuxième question j'ai trouvé :
V2=Vect(b1;b2)
V2 est donc un plan vectoriel.
(b1; b2-αb1) = 0
(b1; b2) - (b1; αb1) = 0
(b1;b2) - α(b1;b1) = 0
α=(b1;b2)/(b1;b1) ?
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