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espaces vectoriels de dimension finie
Bonsoir,
Je n'arrive pas à faire l'exercice suivant:
Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension n+1 tel que fn+1= 0 sans que fn soit nul. Montrer qu'il existe x tel que (fn-1(x),..., f(x),x) soit une base de E. Donner la forme de la matrice de f dans cette base.
En déduire qu'il existe une base de 
n[X] dans laquelle la matrice de D (qui associe à tout polynôme de n[X] son polynôme dérivé) soit de la forme :
0 1 0.....0
0 .
. .
. 1
0.......0 0
Je ne vois pas comment la famille en question peut être une base de E alors qu'elle n'a que n éléments...
Merci d'avance!
Edit Kaiser
J'arrive à montrer que la famille (f[/sup]n[sup](x),...,f(x),x) est une base de V en montrant que si il existe 
[/sub]0[sub],..., [/sub]n[sub] tels que [/sub]n[sub]f[/sup]n[sup](x) +...+[/sub]0[sub]x = 0 alors [/sub]0[sub]=...=[/sub]n[sub]=0 (en appliquant f[/sup]n[sup], puis f[/sup]n-1[sup]... à l'égalité) mais je ne vois pas comment on peut trouver la matrice de f dans cette base
Bonsoir à toutes et à tous.
Rouliane :
écrire que fn non nulle signifie : il existe au moins un vecteur x pour lequel fn(x) 
0. C'est seulement pour ce type de vecteur "x" que l'on a quelques chances de trouver une famille libre.
A plus RR.
Je voulais dire que j'arrive à montrer qu'il existe x tel que la famille (f^n(x),...,f(x),x) soit une base de E, mais que je n'arrive pas à donner la forme de la matrice de f dans cette base
spirale :
Soit x tel que fn(x) 0
En prenant l'image par f, par f², ... , par fn de (I) et en tenant compte de fn+1 = 0, on trouve que a0 = a1 = ... = an = 0.
A plus RR.
spirale.
Tu sais que les colonnes seront les images des vecteurs de la base, sur cette base.
Ta base est :
.
.
.
.
Calcule maintenant f(e1) , f(e2) , ... , f(en+1) et exprime les en fonction des ei.
A plus RR.
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