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Espaces vectoriels de dimension finie
Bonsoir a tous, j'ai un petit probleme avec ce chapitre tout nouveau est ce que quelqu'un pourrait m'eclairer un peu svp ?
Voila le probleme :
1) Montrer que toute famille finie de polynomes de 
[X] dont les degrés sont tous distincts est une famille libre de [X].
2) Soit a un reel non nul fixé, montrer que la famille (1,X-a,...,(X-a)^n) est une base de l'espace vectoriel n[X].
Voila pour le 1) je connais bien sur la definition d'une famille libre maisje ne vois pas ou utiliser le fait que les degrés sont distincts. Si je considere une combinaison lineaire de ces polynomes, valant 0 alors je pensais pouvoir rentrer chaque scalaire dans chaque polynomes mais apres...?
Pour ce qui est du 2) je nage completement.
Merci a ceux qui auront le temps de me donner quelques aides.
Salut
Pour le 2 to obtiens une famille libre à n+1 éléments donc une base du
Pour le 1)
En fait tu sais que si tu les ranges par degré croissant
Avec
Le fait que
Tu as forcément
Et ensuite tu fais une récurrence décroissante.
Et tu obtiens que tous les ai sont nuls
Merci beaucoup pour le 1) ca me semble tt a fait juste c'est en partie a cela que je pensais. Par contre pour le 2) je ne te suis pas bien, le resultat est il si immediat ?
Salut
si tu as compris le 1 c'est l'essentiel
en effet le 2 est immediat une fois que tu as le 1.
Ta famille
est composée de n+1 polynôme de degré distincts (0,1,...,n)
Ainsi d'après le 1 cette famille est libre.
De plus l'espace vectoriel est un espace vectoriel de dimension n+1, et l'on sait que si l'on a une famille libre à n+1 élément dans un ev de dimension n+1 elle est nécessairement génératrice et donc c'est une base.
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