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Espaces vectoriels et matrices
Salut,
je patauge dans la soupe depuis un moment. Je démarre les cours sur les espaces vectoriels et les matrices et je suis pas encore au top.
Un des exos me dis la chose suivante:
Soit f l'endomorphisme de R3 défini par:
f(x;y;z)=(z+y-x;x+z-y;x+y-z)
On me demande d'écrire la matrice A de f dans R3, ça, c'est fait, c'est simple.
Mais c'est la question suivante le soucis:
Déterminer la matrice de fof de 2 manières suivantes:
a) en calculant les images des vecteurs de la base par f, puis par fof
b) en calculant le produit AxA
Je saisi par par quoi commencer et quelle piste je dois suivre. Calculer la dimension de Im(f) ne m'amènera rien et je ne pense pas que ce soit ce qu'on me demande.
HELP !
Merci
Bein déjà, calculer l'image des vecteurs, j'ai rien dans mes polycop sur ça si ce n'est calculer la dimension de Im(f) et de toutes façons, je vois pas où ça m'amènerai. Je vous rassure, je veux pas de réponse mais je peux pas suivre une piste puisque je ne vois pas quelle piste suivre.
Merci
Tout d'abord, on considère les vecteurs de la base canonique de : (1;0;0), (0;1;0) et (0;0;1).
Il faut calculer l'image de ces deux vecteurs par fof.
Cela te donner la matrice de fof dans cette base.
Kaiser
Donc par exemple, je sors la matrice de ces 3 vecteurs, puis je multiplie les paramètre de chaque vecteurs (ex: -1;1;1 pour le premier) par 1;0;0 ce qui va me donner l'image de ce premier vecteur, c'est ça ?
Et du coup, avec les 2 autres, ça me fera la nouvelle matrice des 3 vecteurs image, non ?
Ben en fait, cela revient en gros à faire un produit de matrice.
Il faut regarder l'image directement à l'aide de l'expression de f.
Plus précisément, par exemple :
on a f((1;0;0))=(-1;1;1)
et donc fof((1;0;0))=f((-1;1;1))=(1+1-(-1);-1+1-1;-1+1-1)=(3;-1;-1)
Tu as compris ?
Kaiser
Boudu, non, je saisi le principe mais je vois pas comment t'y arrives !
Pour la première application f, je fais:
1 0 0 -1 1 1
0 1 0 avec l'appli, ça devient: 1-1 1
0 0 1 1 1-1
Puis ensuite, faut faire fof et je vois pas d'où tu sors le =(1+1-(-1);-1+1-1;-1+1-1)
Parceque ce que j'aurai fait, c'est -1x(-1;1;1) puis 1x(1;-1;1) puis 1x(1;1;-1) mais ça doit pas être ça apparemment...
Forcément, si tu multiplies par la matrice identité, tu te retrouves avec la première matrice.
D'ailleurs, que trouves-tu comme résultat pour la première matrice ?
Kaiser
Heuuu, comprends pas bien ta question, ma première matrice ? Je croyais que ma première matrice était (-1,1,1 ; 1,-1,1 ; 1,1,-1) ???
Ho là là, je perd pied, aidez-moi !
Non, c'est bien ça (c'était simplement pour être sûr qu'il n'y ait pas de malentendu).
Sinon, pour déterminer la matrice de fof, tu es bien d'accord qu'il faut calculer
les 3 vecteurs fof((1,0,0)), fof((0,1,0)) et fof((0,0,1)) ?
Kaiser
Mais c'est ce qu'on vient de faire, non ?
Maintenant, que j'ai ma première matrice, il faut que je la multiplie par quelquechose à nouveau et c'est ça que je trouve pas et que toi tu trouves f((-1;1;1))=(1+1-(-1);-1+1-1;-1+1-1)=(3;-1;-1)
Mais ça, je vois pas comment t'y arrives !?
Merci encore
Si u=(x,y,z) est un vecteur, alors son image par f est le vecteur f(u)=(z+y-x;x+z-y;x+y-z), par définition de f.
Là, tu es d'accord avec moi ?
Kaiser
On veut calculer fof(1,0,0)=f(f(1,0,0)).
Pour le calcul de f(1,0,0), on utilise la formule précédente avec x=1, y=0 et z=0 et on trouve que f(1,0,0)=(-1,1,1).
Donc fof(1,0,0)=f(f(1,0,0))=f(-1,1,1)
Toujours OK ?
Kaiser
Pour calculer f(-1,1,1) on réutilise la formule de mon message de 1h02 avec x=-1, y=1 et z=1 et on retombe sur le calcul de mon message de 1h00.
Kaiser
Ha, je crois que ce que je ne saisi pas est pourquoi les composante x, y, et z sont dans le désordre. Parceque ce que tu fais, c'est que tu prends (-1;1;1) et que tu le multiplie à f(u), mais il faut d'abord les mettre dans l'ordre x, y, et z sinon l'écriture de la matrice est fausse ! Non ?
Ha, je crois que ce que je ne saisi pas est pourquoi les composante x, y, et z sont dans le désordre.
où as-tu vu qu'elles étaient dans le désordre ?
Kaiser
Mais c'est exactement la même chose !
De plus, tu remarqueras que j'ai bien fait attention dans mon calcul.
Si tu veux, je le refais avec cette formulation.
Avec x=-1, y=1 et z=1 on a
f(-1,1,1)=(-(-1)+1+1,-1-1+1,-1+1-1)=(3,-1,-1)
et c'est exactement ce que j'ai trouvé plus haut.
Kaiser
Pfouuuu, non, suis pommé, je vois pas ce qui semble évident !
Pourrais-tu me décrire alors la multiplication toute bête dans son étape, parceque là, je crois que ça va pas du tout
Depuis tout à l'heure tu me parles d'une multiplication.
A quoi fait-tu référence ? Au produit de matrices ?
Kaiser
Bein j'imagine que pour trouver f(-1,1,1)=(-(-1)+1+1,-1-1+1,-1+1-1)=(3,-1,-1)
tu as multiplié quelquechose par quelquechose !?
Je n'ai rien multiplié du tout.
J'ai juste utilisé le fait que pour tout x, y et z,
Ensuite, il suffit de remplacer.
Dans le calcul précédent, on devait trouver f(-1,1,1)
Pour ce faire, j'ai utilisé la formule précédente en remplaçant x par -1, y par 1 et z par 1.
Kaiser
HOOOOO LA LA MAIS QUEL BLAIREAU JE FAIS !!!!!!!!!!!!!
Ca y est, j'y vois plus clair, mais quel myope alors ! Je comprends, j'avais tout zappé la début !!! Pfffff au secours !
Bon ok, je repars dans mes cours, je saisi mieux. Donc là, on vient de faire fof. Je suppose que si je dois maintenant calculer le résultat de AxA, ça veut dire que je dois multiplier la matrice par elle-même !?
tant mieux si c'est plus clair ! 
Donc là, on vient de faire fof.
Là, on a seulement calculer fof(1,0,0).
Reste à faire la même chose avec fof(0,1,0) et fof(0,0,1).
je suppose que si je dois maintenant calculer le résultat de AxA, ça veut dire que je dois multiplier la matrice par elle-même !?
oui
Kaiser
OOOKKKK, le blaireau eput aller se coucher tranquile, il s'endormira moins idiot en tous cas !
C'est pas beaucoup mais j'ai l'impression d'avoir franchi les Alpes ! J'en peux plus. Faut que j'ailles roupiller maintenant.
Encore merci de ta patience KAISER et pour toutes tes explications. Tu me reverras surement très bientôt.
Merci encore et A+
et à bientôt sur l'
!
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