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Espaces vectoriels et Polynomes
Bonjour à tous !
Je suis en première année de prépa ecs et je bloque sur un problème :
...
(qqsoit x ds R) (F(P))(x)=(3x+8)P(x)+(x²-5x)P'(x)-(x^3-x²)P''(x)
J'ai montré que F(P+aQ)=F(P)+aF(Q)
a) On a n différent de 3 et on pose P(x)=a(indice n)x^n+Q(indice p)(x) et d°(Qp)=<n-1
Il faut déterminer le degré de F(p) et exprimer son coeff dominant en fonction de n et de an
Je trouve le degré = n+1 (je suis vraiment pas sur) mais pour le coeff dominant je bloque
b) on prend n=3
1- Determiner l'image de x->ax^3+bx²+cx+d par F (sa je pense que c'est on)
2- Determiner suivant a, b,c,d le degré de F(P)
La je vois pas trop
"- On pose K={P appartient à R3[x]/F(P)=0}
Démontrer que K est un sous espace vect de R3[x]
Demontrer que tout polynôme P de K est combinaison linéaire d'un polynome non nul P0 que l'on déterminera
L'application F est elle injéctive
Sa je n'y arrive pas ..
4- soit f appartient a R* l'équation F(P)=f a t'elle une solution ?
L'application F est elle une surjection de R3[x] dans R3[x] ?
Je n'y arrive pas non plus
Voila je pense que c'est a peu pres tout mais sa fait quand même beaucoup ^^.
Merci a tous ceux qui auront pris la peine de me lire et à ceux qui voudrons bien me répondre.
++
Salut,
Le degré de F(p) est bon. Seul le coefficient dominant de P(x) est important : a_n. Ainsi, le coefficient dominant de F(p) est 3*a_n+1*(n*a_n)-1*(n*(n-1)*a_n).
Pour le degréde F(p) regarde quand est-ce que le coefficient dominant s'annule (et donc n'est plus vraiment dominant...).
Justin
Ok merci beaucoup Justin.
Je comprenais pas trop en quoi a,b,c et d avaient une importance sur le coeff dominant.
Juste pour le degré du polynome si on considère que F(P)(x)=A(x)+B(x)+C(x) étant donné que les degré de A, B et C sont égaux on peut vraiment dire que le degré de F est n+1 ? Pasque le cours dit si d°A diff d°B alors d°(A+B)=max(d°(A,B)).
Sinon pour la suite est ce que qqun pourrait m'aider ?
Merci encore
Si les degrés ne sont pas différents, alors d°(A+B)<=max(d°(A),d°(B)). Mais dans ce cas c'est l'égalité (à moins que 3*a_n+1*(n*a_n)-1*(n*(n-1)*a_n)=0 à certains endrois).
Justin.
Ok et vu que c'est égal à 0 quand n=3 et qu'on a n différent de 3 alors le degré du polynome est n+1
Vraiment personne pour la suite ?
La question 2 est assez simple. Vu que F(x)=ax^3+bx^2+cx+d alors le degré de F est 3 si a différent de 0, 2 si a=0 et b différent de 0, 1 si a=0, b=0 et c différent de 0, etc.
Est-ce que tu comprends comment K est défini? Si oui, vérifie que tous les axiomes des espaces vectoriels sont bien satisfaits.
Justin.
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