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Espaces vectoriels : somme directe et équivalence.

Posté par
gui_tou 21-03-08 à 13:48

Bonjour à tous

J'ai besoin d'indices pour cet exo (classique) :

Citation :
3$\rm Soit f\in\scr{L}(E) \\ Montrer que : \fbox{E = Im f\oplus Ker f \Longleftright \{Im f = Im f^2\\Ker f = Ker f^2



3$\scr{D}émonstration.   3$\rm f:E\to E

3$\rm\red\fbox{\fbox{\bullet Sens \fbox{\Longleft

Hypothèses : 3$\rm\{Im f = Im f^2\\Ker f = Ker f^2.  On montre que 3$\fbox{\blue\rm E=Im f\oplus Ker f

¤ On a (trivialement ^^) 3$\rm Im f\oplus Ker f \subset E comme somme de deux SEV de E.

¤ On montre que : 3$\rm E\subset Im f\oplus Ker f.

Soit 3$\rm x\in E. On montre que 3$\rm x\in Im f\oplus Ker f.

3$\rm f(x)\in Im f donc 3$\rm f(x)\in Im f^2.
Ainsi, 3$\rm \exists t\in E, f\circ f(t)=f(x)  soit  3$\rm f(f(t))-f(x)=0_E  et   3$\rm f(f(t)-x)=0_E et donc 3$\rm x-f(t)\in Ker f

Or, 3$\rm x=\underb{f(t)}_{\in Im f}+\underb{(x-f(t))}_{\in Ker f  et donc 3$\rm \fbox{ x\in Im f + Ker f

Mais malgré les hypothèses je ne vois pas comment montrer que la somme est directe, ie 3$\rm Im f\cap Ker f = \{0_E\}.

Merci de m'avoir lu, et merci aussi de me donner une piste

Posté par
infophilere : Espaces vectoriels : somme directe et équivalence. 21-03-08 à 14:12

Salut

Prend un x dans l'intersection, il appartient à chacun des ensembles et tu utilises ensuite l'hypothèse normalement ça roule.

Posté par
gui_toure : Espaces vectoriels : somme directe et équivalence. 21-03-08 à 14:25

Salut Vieux

Soit 3$\rm x\in Im f\cap Ker f. On montre que 3$\rm x=0_E

¤ 3$\rm x\in Im f donc 3$\rm x\in Im f^2. Ainsi, 3$\rm \exists t\in E, f(f(t))=f(x)

¤ 3$\rm x\in Ker f donc 3$\rm x\in Ker f^2. Ainsi, 3$\rm f(f(x))=0_E

Et ensuite ?

Merci

Posté par
gui_toure : Espaces vectoriels : somme directe et équivalence. 21-03-08 à 14:30

Erreur : 3$\rm%20\exists%20t\in%20E,%20f(f(t))=x

Posté par
Camélia Correcteurre : Espaces vectoriels : somme directe et équivalence. 21-03-08 à 14:36

Bonjour

x est dans Im f, donc il existe z tel que x=f(z). x est dans ker(f), donc f(x)=0. Mais alors

0=f(x)=f2(z), donc z est dans ker(f2)=ker(f), donc f(z)=0=x.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Espaces vectoriels : somme directe et équivalence. 21-03-08 à 14:37

Salut à vous deux

essaie plus simplement de montrer que:

3$\rm\fbox{Im(f)\cap Ker(f)=\{0\} \Leftrightarrow Ker(f)=Ker(f^2) \\ Im(f)+ Ker(f)=E \Leftrightarrow Im(f)=Im(f^2)}

après tu conclus

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Espaces vectoriels : somme directe et équivalence. 21-03-08 à 14:37

<Salut Camélia

Posté par
Camélia Correcteurre : Espaces vectoriels : somme directe et équivalence. 21-03-08 à 14:38

Salut monrow

Posté par
infophilere : Espaces vectoriels : somme directe et équivalence. 21-03-08 à 14:39

Ok moi je ferais comme ça :

x est dans l'intersection donc x est dans Imf et dans Kerf

x dans Imf donc il existe x' tel que x = f(x')   et comme x est dans Kerf f(x) = 0

Donc f(x) = fof(x') = 0  et donc x' est dans Kerf² = Kerf d'où f(x') = 0 soit x = 0

Essaye l'autre sens

Posté par
infophilere : Espaces vectoriels : somme directe et équivalence. 21-03-08 à 14:40

Oups complètement à la ramasse

Bonjour à vous deux

Posté par
Camélia Correcteurre : Espaces vectoriels : somme directe et équivalence. 21-03-08 à 14:40

Salut Kevin On avait exactement la même!

Posté par
infophilere : Espaces vectoriels : somme directe et équivalence. 21-03-08 à 14:42

Camélia > Oui on a la même méthode je l'avais eu en khôlle cet exo il y a pas longtemps donc je m'en rappelle.

Posté par
gui_toure : Espaces vectoriels : somme directe et équivalence. 21-03-08 à 14:44

Salut Monrow et Camélia

Ok merci à vous


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