Bonsoir yonyon

N'oublie pas que l'on désigne par vecteur tout élément d'un espace vectoriel, donc une fonction est un vecteur.

Il est assez clair que E, F et G sont des espaces vectoriels (ils suffit d'appliquer la définition).
Ensuite, pour démontrer ce résultat,tu dois faire deux choses :
- tu dois montrer que l'intersection (ça c'est pas très difficile)
- tu prends une fonction quelconque f et tu supposes que f s'écrit f=g+h avec g paire et h impaire. Ensuite, en utilisant les propriétés de parité ou d'imparité de g et h, tu en déduira l'expression de g et h en fonction de f.

Kaiser

Bonsoir.
On cherche l'intersection de F et G : ce sont les f paires et impaires donc :
f(-x) = f(x) = - f(x) donc 2f(x) = O pour tout x, donc f = O (fonction nulle).
Ensuite, une petite "combine" : pour toute fonction f, on écrit :
f(x) = 1/2[f(x)+f(-x)] + 1/2[f(x)-f(-x)].
Posons P(x) = 1/2[f(x)+f(-x)] et I(x) = 1/2[f(x)-f(-x)]. Il est aisé de prouver que P est paire et I impaire.
Voilà comment on prouve la somme directe.
Cordialement RR.

petite indication,

si f est une fonction de R dans R, alors pour tout x  f(x) existe et f(-x) existe.

donc f(x) = (f(x) + f(-x))/2 + (f(x) - f(-x)) /2

f est donc la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.

D.

Merci à tous pour votre aide

Une petite remarque:
C'est ce même procédé qui a fait naître les fonctions hyperboliques à partir de la fonction exponentielle réelle.