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Niveau terminale
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Etat initial

Posté par
vonille69 09-04-15 à 18:54

Un archer participe aux compétitions internationales.
À ce niveau, on estime qu'il n'atteint que trois zones sur le
blason :
- la zone or centrale C à 10 points ;
- l'anneau or A à 9 points ;
- le premier anneau de la zone rouge R à 8 points.
C
A
R
Pour cet archer :
- s'il atteint la zone C un tir donné, il atteint la zone
C au tir suivant avec la probabilité de 0, 7, la zone A
avec la probabilité de 0, 15.
- s'il atteint la zone A un tir donné, il atteint la zone C
avec la probabilité de 0, 7, la zone A avec la probabilité
de 0, 2.
- s'il atteint la zone R un tir donné, il atteint la zone C
au tir suivant avec la probabilité de 0, 85, la zone A
avec la probabilité de 0, 1.
En ce jour de compétition, lors de son premier tir, l'archer
atteint la zone A.
On note En “ `
cn an rn
˘ la matrice-ligne traduisant
la probabilité que l'archer atteigne chacune des zons
précitées lors du ne tir ((n entier naturel non nul).
1. Préciser E1.
2. Construire un graphe probabilisite traduisant la situation
proposée.
3. Donner la matrice de transisition M associée à ce graphe
probabiliste. On prendra les sommets C, A et R dans cet
ordre.
4. Déterminer par le caclul la matrice E2. Intepréter les ré-
sultats obtenus.
5. a. À l'aide de la calculatrice, déterminer les matrices
E3, E5 et E10. On arrondira les résultats à 4 décimales.
Que remarque-t-on ?
b. La remarque précédente est-elle modifiée si le tir
initial atteint la zone C ? La zone R ?
6. On admet que la situation proposée évolue vers un état
stable P “ `
x y z˘
avec x ` y ` z “ 1.
a. Montrer que la traduction de l'état stable conduit au
système :
#
11x ´ 150z “ 0
22y ´ 59z “ 0


Pouvez m'aider à trouver E1 : le reste je sais faire !

Meriiii d'avance

Posté par
littleguyre : Etat initial 09-04-15 à 19:26

Bonjour,

Le texte dit :

Citation :
En ce jour de compétition, lors de son premier tir, l'archer atteint la zone A.

et "On note En = (cn an rn) la matrice-ligne traduisant la probabilité que l'archer atteigne chacune des zones précitées lors du ne tir (n entier naturel non nul)."

Ça va de soi, non ?

Posté par
vonille69re : Etat initial 09-04-15 à 19:38

Je vois pas comment on peut faire : Il faut trouver la probabilité de c a et r mais comment en fait ?
a = 0.2 c = 0.2 et r = 0.6 ?

Posté par
Labore : Etat initial 09-04-15 à 19:43

Bonjour,

Citation :
En ce jour de compétition, lors de son premier tir, l'archer
atteint la zone A.

E1=(1  0  0)

Posté par
vonille69re : Etat initial 09-04-15 à 19:44

oh merci beaucoup ! je vais essayer de faire la suite

Posté par
Labore : Etat initial 09-04-15 à 19:44

bonjour littleguy

Posté par
vonille69re : Etat initial 09-04-15 à 19:56

C'est plutot ( 0 1 0 ) non ?

Posté par
Labore : Etat initial 09-04-15 à 20:38

OUI ...

Posté par
littleguyre : Etat initial 09-04-15 à 21:03

Hello Labo

> vonille69

Dans ton post initial tu écrivais :

Citation :
Pouvez m'aider à trouver E1 : le reste je sais faire !
et maintenant :
Citation :
je vais essayer de faire la suite

Posté par
vonille69re : Etat initial 10-04-15 à 06:31

Oui parce que je sais faire mais je ne suis pas sur des résulats..

Je trouve M= ( 0.7 0.15 0.15
               0.7 0.2 0.1
               0.85 0.1 0.05 )
Est-ce exact ?

Posté par
Labore : Etat initial 10-04-15 à 18:29

OUI,
indique clairement ce que signifie

Citation :
#
11x ´ 150z “ 0
22y ´ 59z “

Posté par
vonille69re : Etat initial 10-04-15 à 18:44

je vois pas comment on trouve ses chiffres ? 11x ect..

Posté par
Labore : Etat initial 10-04-15 à 18:57

ton expression est illisible

Posté par
Labore : Etat initial 10-04-15 à 19:19

état stable
\begin{pmatrix} x  y  z\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,7  0,7  0,85\\ 0,15  0,2  0,1\\ 0,15  0,1  0,05 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x  y  z\end{pmatrix}
sachant que x+y+z=1

tu devrais trouver
x=100/139
y=18/139
z=21/139

Posté par
Labore : Etat initial 10-04-15 à 19:22

oups j'avais  mal regardé  ta matrice M ...
elle ne permet pas de trouver pour   E2(0,7   0,2  0,1)

Posté par
vonille69re : Etat initial 10-04-15 à 21:12

Oui j'ai bien trouver E2 (0.7 0.2 0.1 )
J'ai également trouver x, y et z.
Mais je ne vois pas comment on trouve :

11x ´ 150z “ 0
22y ´ 59z “ 0

Je n'ai pas les mêmes chiffres..

Posté par
Labore : Etat initial 10-04-15 à 22:34

OK pour la matrice M ( c'est pourtant celle que j'avais prise pour effectuer les calculs)
je devrais m'arrêter...
état stable
\begin{pmatrix} x  y  z\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,7  0,15  0,15\\ 0,7  0,2  0,1\\ 0,85  0,1  0,05 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x  y  z\end{pmatrix}
sachant que x+y+z=1
ce qui donne
bien les valeurs  de x=100/139=0,714244...
y=21/138=0,151079....
z=18/138=0,129496...
proches des valeurs trouvées pour E10 (0,7194  0,1511  0,1295)

par contre si on prend
11x+150z=0
22y+59z=0
on aurait
x=100/127=0,787...
y=59/381=0,1548...
z=22/381=0,057...

Posté par
vonille69re : Etat initial 11-04-15 à 08:13

Pour résoudre le système j'ai utilisé :

( 0.7x + 0.7y + 0.85 z ) = x
(0.15x + 0.2y + 0.1z) = y
( 0.15x + 0.1y + 0.05z) = z

Et dans la consigne il me demande de montrer que le traduction de l'état stable conduit au systeme :

11x - 150z = 0
22y - 59 z = 0

Et ensuite il me demande de résoudre ce système.
Je comprends pas le lien entre 0.7x + 0.7y + 0.85 z et 11x - 150z ..
Du moins je comprends pas comment on trouve ces chiffres..
Lorsque l'on utilise la formule  PM = P, cela nous donne pas ça..

Posté par
Labore : Etat initial 11-04-15 à 12:05

  OK pour le système  sachant que tu as  une quatrième équation
x+y+z=1
ce qui permet d'avoir  x en fonction de z  et y en fonction de z puis x+y+z=1  en fonction de z ,on obtient ainsi la valeur de z , puis celle des deux autres


==> ce qui donne les valeurs que je t'ai indiquées en corrigeant y et z

   et qui vérifient

(100/139    21/139   18/139 ) M=(100/139    21/139   18/139 )

erreur d'énoncé
car leur système aboutit à d'autres valeurs  pour (x;y;z)   ( tu peux vérifier...)
je m'absente

Posté par
vonille69re : Etat initial 11-04-15 à 12:17

Ok merci beaucoup pour ton aide en tout cas !

Posté par
slorevivre : Etat initial 11-04-15 à 14:59

bonjour

j'interviens donc apres Labo

( j'enseigne ca) la matrice de Labo 22.34 est ok c'est celle  de  vonille 69 donne a 6.31 et on resout et on trouve bien comme Labo  

x=100/139=0,714244...
y=21/138=0,151079....
z=18/138=0,129496..

Bonne suite dans tout ca

Posté par
littleguyre : Etat initial 11-04-15 à 17:34

> Labo

Citation :
erreur d'énoncé car leur système aboutit à d'autres valeurs  pour (x;y;z)
  Il me semble que ça marche pourtant...

Bonjour sloreviv


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