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Etude d un endomorphisme
Bonjour à toutes et tous,
voilà quelques questions sur lesquelles je bloque vraiment... si quelqu'un pouvait m'aider...
Soient A et B 2 matrices de E et psyA,B un endomorphisme de E défini par psyA,B (M) = A.M.t(B) où t(B) est la transposée de B.
- Déterminer en fonction des rangs r et s de A et B le rang de l'endomorphisme psyA,B
- Démontrer que si V et W sont des vecteurs propres de A et B, la matrice V.t(W) est vecteur propre de psyA,B
- On suppose que psyA,B est orthogonale. En utilisant des matrices de rang 1, établir qu'il y a une relation simple pour tout couple de vecteurs X et Y de R^n entre ||A.X||².||B.X||² et ||X||².||Y||²
Merci beaucoup à ceux qui prendront un peu de leur temps pour me répondre!
en raisonnant sur la dimension des SEV image, le rang de l'endomorphisme est inf(r,s)
A.V.t(W).t(B)=(A.V).t(B.W)=vV.t(wW)=vwV.t(W) si v etw sont les valeurs prores associées aux vecteurs V et W
Alors mettons les points sur les :
En rapportant à sa base canonique
,une matrice peut ^etre vue commme un endomorphisme de
et ainsi on peut parler de noyau ,d'image ,de vecteurs propres ..d'une matrice.
c'est la dimension du sous espace de
engendré par les vecteurs colonnes de
.
Notons le
-espace vectoriel des matrices carrées d'ordre
à coefficients réels .E est de dimension
sa base canonique est
où
est la matrice carrée d'ordre
dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de de la
-ième ligne et la
-ième colonne qui vaut
elles sont toutes de rang
et on a
.
Pour considérons l'endomorphisme de
,
est un sous espace de
et par conséquent
il serait donc incompatible de dire que puisque le terme de droite ne peut pas dépasser
alors que celui de gauche peut trés bien aller jusqu'à
.
-Determination de :
D'aprés le théorème du rang on peut écrire que:
remarquons maintenant que,
ce qui veut dire que l'espace
est constitué des endomorphismes de
qui renvoient
dans
.
Soit alors un supplémentaire de
dans
comme
on a que
Considérons alors l'application
on peut voir sans grande peine que l'application est en fait un isomorphisme d'espaces vectoriels et donc que:
et on conclut alors que:
Sauf erreurs bien entendu 
- et
étant respectivement deux vecteurs propres de
et
on a donc que
et par conséquent la matrice
est non nulle.
D'autre part si et
désignent les valeurs propres associées repectivement à
et
on a que:
et donc que
est bien un vecteur propre de l'endomorphisme
.
Sauf erreurs...
-La dernière question sous entend la structure euclidienne de définie par le produit scalaire
on a donc en particulier
.
L'endomorphisme étant supposé orthogonale il conserve la norme c'est à dire que:
en particulier pour
on a donc
ie
et en remarquant que les quantités
et
sont scalaires et valent respectivement
et
on a que
et pour finir il suffit de remarquer que:
et donc que
c'est à dire que:
.
Sauf erreurs bien entendu
Merci beaucoup beaucoup beaucoup!
Maintenant, vais reprendre tout ça au brouillon pour voir si j'ai compris... Et essayer de voir si ça m'aidera à avancer dans ce devoir qui compte tout de même une trentaine de questions... (1er devoir d'algebre de la préparation du CNED au CAPES de Maths... pour le moment, je n'ai réussi à en faire qu'un bon tiers... 
)
Bonsoir mattrisse;
tu peux toujours poster les questions que tu trouves difficiles ainsi que tes tentatives de résolution.
Alors elhor_abdelali, j'ai bien compris pour les 2 dernières questions... Par contre, pour le rang, pas pour le moment! Mais j'y travaille...
J'ai un petit souci avec la notion de rang... à me représenter concrètement à quoi correspond le rang. La dimension de l'image... L'ordre du plus petit déterminant non nul extrait de la matrice... Jusque là C juste? et c'est tout?
On me demande de caractériser les matrices de rang 1 qui appartiennent au noyau de psy a,b... donc on a AMtB=0 et dim Im(M)=1?
Mais concrètement, à quoi ressemble 1 matrice de rang 1? tous ses vecteurs sont colinéaires?
Autre souci... Qu'implique le fait qu'une matrice soit diagonalisable? à part qu'elle soit semblable à la matrice P-1DP? Si je veux montrer que du coup l'endomorphisme psya,b est lui meme diagonalisable, de quoi dois-je partir?
Et une dernière question, pour la route... (je commence à avoir honte!!! )
Si f est un endomorphisme de R^n, montrer que f est de rang 1 ssi il existe X€R^n et u définie sur R^n tq pour tout t€R^n f(t)=u(t)x
Déterminer la matrice associée à f dans la base canonique de R^n
Ex: expliciter M lorsque x=ei, u=ej*
(ei),1<i<n base canonique de R^n
(ej*), 1<i<n base duale associée
Merci d'avance pour m'éclairer sur ces points... (des pistes plutot que des résolutions, ds un 1er tps, SVP!!!)
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