Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Fonction ExponentielleTopics traitant de Fonction Exponentielle [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Etude d'une fonction

Posté par
math26 24-12-17 à 10:34

Bonjour,

J'ai un Devoir maison à réaliser pour la rentrer mais je bloque dès la première question.
Merci de me mettre sur la bonne voie.

Soit f la fonction définie sur R par f(x)=e^-x
On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
A tout point A de C d'abscisse a, on associe le triangle OMN où M et N sont les points d'intersections entre les axes du repère et la tangente C en A.

1. Exprimer les coordonnées des points M et N en fonction de a.
2. Etudier les variations de l'aire du triangle OMN en fonction de a.

Pour la 1 j'ai fait:
f(x)=e^-x
soit f'(x)=-e^-x

Pour x=0 on a f(0)=e^-0= 1
et f'(0)=-e^-0= -1

d'ou y=f'(0)(x-0)+f(0)
             =-1x+1

Et on a M(xm; 0)
et N(0;Yn)

Soit M: -1x+1=0
                 x=1

N: -1*0+1=y
        1=y

Mais je pense que ce n'est pas les résultats que je dois trouver et je ne sais pas comment faire autrement...
Merci de m'aider.

Posté par
mathafou Moderateurre : Etude d'une fonction 24-12-17 à 10:41

Bonjour,

à quoi sert la tangente en x = 0 ?
à rien ...

appliquer la formule de l'équation de la tangente en x = a

Posté par Profil wolfteam1re : Etude d'une fonction 24-12-17 à 10:44

des petites indications pour t'aider à répondre à la première question.
Qu'elles sont les coordonnées du point A pour toi ?
Sachant que A est un point de la courbe avec comme abscisse a.
deuxième petite aide :
M et N sont les points d'intersections entre les axes du repère et la tangente C en A.
Qu'elle est la tangente de C en A ? (essaye de réfléchir avec la dérivé ou le taux d'accroissement )
essaye de répondre à ces questions et si tu n'y arrives pas; je t'aiderai un peu plus

Posté par
math26re : Etude d'une fonction 24-12-17 à 11:39

Pour les coordonnées de A je ne suis pas sur de moi: A(a;y) ???

Et l'équation de la tangente...
y= f'(a)(x-a)+f(a)
  =-e^-x(x-a)+e^-x
  =-xe^-x+ae^-x+e^-x
  =e^-x(-x+a+1)

Est-ce ça ?
Mais après je ne comprend plus trop comment faire...

Posté par
mathafou Moderateurre : Etude d'une fonction 24-12-17 à 11:45

A étant sur la courbe, A (a; f(a))

y= f'(a)(x-a)+f(a)

=-e^-x(x-a)+e^-x faux f(a) pas f(x), et f '(a) pas f '(x) !!

Posté par
math26re : Etude d'une fonction 24-12-17 à 11:52

Oups, oui en effet ma réflexion 'était pas logique pour les coordonnées de A.

Du coup y= f'(a)(x-a)+f(a)
  =-e^-a(x-a)+e^-a
  =-xe^-a+ae^-a+e^-a
  =e^-a(-x+a+1)

C'est ça ????
Mais après que dois-je faire ?

Et merci de m'aider wolfteam1 et Mathafou !

Posté par
mathafou Moderateurre : Etude d'une fonction 24-12-17 à 12:05

bein tu as bien l'équation d'une droite
équation qui dépend du "paramètre" a
écris la proprement sous la forme y = mx + p

y = {\red -e^{-a}}x + {\blue ae^{-a} +e^{-a}}

pas tout mélangé comme tu as fait.

a est un paramètre
les coefficients \red m=-e^{-a} et \blue p = ae^{-a} +e^{-a} de l'équation de la droite sont des fonctions de a
des constantes pour un a donné.

et donc si tu fais comme d'hab pour trouver l'intersection de cette droite avec les axes, tu trouveras ces intersections qui dépendent de a, "en fonction de a"

Posté par
math26re : Etude d'une fonction 24-12-17 à 12:27

Je ne suis pas certaine d'avoir compris cette deuxième partie:

J'ai y=-e^-a x+ae^-a+e^-a est de la forme y= mx+p, ça ok.

Mais après je pour trouver l'intersection, il me faut:
yON qui est de la forme x=k=0
et yOM qui est de la forme y=b=0...

C'est bien avec ça qu'il faut que je parte ?

Du coup je sais que
M(x;0)
N(0;y)

Soit yON= -e^-a *0+ae^-a+e^-a
                   =ae^-a+e^-a

et yOM=-e^-a x+ae^-a+e^-a=0
                  =-e^-a x=-ae^-a-e^-a
Soit x=-ae^-a

D'ou M(-ae^-a; 0)
N (0; ae^-a+e^-a)

..... je ne suis pas sure que cela soit correct...

Posté par
mathafou Moderateurre : Etude d'une fonction 24-12-17 à 12:39

à part tes notations bizarre, presque

encore faut il ne pas faire d'erreurs de calcul


et yOM=-e^-a x+ae^-a+e^-a=0
=-e^-a x=-ae^-a-e^-a

ne pas confondre "égale" et "équivaut à"
ça ne veut rien dire du tout ce que tu écris

yOM (ça veut dire quoi ce "truc" ?? tu veux dire l'abscisse de M ? c'est xM) est solution de (pas "égal à" )

-e^-a x + ae^-a + e^-a = 0

qui n'est pas "égal" à -e^-a x (c'est ce que tu as écrit !!! "=" !!)
mais équivaut à
-e^-a x = -ae^-a - e^-a (quelques espaces facilitent la lisibilité) OK

en divisant les deux membres de cette égalité par -e^-a, ça ne donne pas x = -ae^-a

Ax = B + A ça ne fait pas x = B.

Posté par
math26re : Etude d'une fonction 24-12-17 à 17:03

Vu pour ma notation...
Mais je ne comprend pas pourquoi  "en divisant les deux membres de cette égalité par -e^-a, ça ne donne pas x = -ae^-a " ....

Posté par
alb12re : Etude d'une fonction 24-12-17 à 17:11

salut,
exercice interessant, je le note ainsi que sa correction

Posté par
Priamre : Etude d'une fonction 24-12-17 à 17:22

yM = - e-axM + ae-a + e-a = 0

- e-axM + e-a(a + 1) = 0

xM - (a + 1) = 0

xM = a + 1 .

D'accord ?

Posté par
mathafou Moderateurre : Etude d'une fonction 24-12-17 à 17:52

Citation :
je ne comprend pas pourquoi "en divisant les deux membres de cette égalité par -e^-a, ça ne donne pas x = -ae^-a "

il ne faut pas se laisser perturber par les complications des coefficients

dans ce que j'ai écrit :
Ax = B + A
cela donne x = B/A + A/A
pas juste B/A

quelles que soient les "complications" de A et B

et en divisant explicitement les deux membres (l'intégralité des deux membres, tout) par "A" ( = -e^-a)
au lieu d'imaginer des "faire passer" foireux, on a bien moins de chance de se tromper...

Posté par
math26re : Etude d'une fonction 24-12-17 à 17:54

Oui, compris, merci Priam.

Du coup si je ne me trompe pas j'ai bien:
M(a+1;0)
N(0; e^-a(1+a))

Mais pour la question 2." Etudier les variations de l'aire du triangle OMN en fonction de a" je ne sais pas du tout par où commencer... Quelqu'un peut me mettre sur la voie s'il vous plait...

Posté par
mathafou Moderateurre : Etude d'une fonction 24-12-17 à 17:59

l'aire de ce triangle rectangle c'est 1/2 OM.ON ...

Posté par
math26re : Etude d'une fonction 24-12-17 à 18:03

Donc pour cela je calcule d'abord les vecteurs OM et ON
pour ensuite déduire leurs longueurs
Et avoir une valeur de l'aire du triangle

C'est bien par là qu'il faut commencer ?

Posté par
mathafou Moderateurre : Etude d'une fonction 24-12-17 à 18:27

que de complications
la mesure du segment [OM] c'est juste l'abscisse de M ... (par définition)
enfin .. la valeur absolue de, mais comme elle est positive cette abscisse, c'est pareil ...

Posté par
math26re : Etude d'une fonction 24-12-17 à 18:35

Oui c'est vrai, c'est plus simple comme ça... (mais sinon ça revient au même ?????)

Du coup je trouve Aire du triangle OMN =  \frac {e^-a(2a+a^2+1)}{2}

Posté par
mathafou Moderateurre : Etude d'une fonction 24-12-17 à 18:42

oui.

nota : en LaTeX, lorsqu'on veut mettre un exposant qui est plus long que un seul caractère, il est obligatoire de mettre tout l'exposant entre accolades :
e^{-a}

et d'ailleurs pour être puriste, même l'écriture en texte ordinaire ici devrait être munie de parenthèses : e^(-a)

Posté par
math26re : Etude d'une fonction 24-12-17 à 18:46

D'accord,  pas évidant toutes ces notations...

Mais du coup maintenant pour "Etudier les variations" je ne vois pas trop comment faire....
Je dresse un tableau de variations ?

Posté par
alb12re : Etude d'une fonction 24-12-17 à 19:22

C'est une question ?

Posté par
mathafou Moderateurre : Etude d'une fonction 25-12-17 à 10:56

pardi, comme d'hab. la fonction est une fonction de a
ça ne change rien à rien. que la variable s'appelle x ou a ou n'importe quoi.
donc tu calcules la dérivée etc ..

Posté par
math26re : Etude d'une fonction 25-12-17 à 18:05

Oui c'est ce que j'ai fait !
Mais une fois dérivée je ne vois pas trop comment cela répond à la question... je pensais que après avoir dérivée, dressez le tableau de variations était correct....

Mais je ne vais pas continuer de vous déranger...
Merci beaucoup de m'avoir aidé

Bonnes fêtes de fin d'année

Posté par
alb12re : Etude d'une fonction 25-12-17 à 18:12

derivee, son signe, tableau des variations, quel est le pb ?

Posté par
math26re : Etude d'une fonction 25-12-17 à 19:20

Il n'y a pas de problème...
C'est ce que j'ai fait mais je me demande juste si c'est suffisant pour répondre à la question 2 ?

Posté par
alb12re : Etude d'une fonction 25-12-17 à 21:11

oui si tu as trouve ceci:

\\ \left(\begin{array}{cccccccc} \\ a & -\infty  &   & -1 &   & 1 &   & +\infty  \\ \\ y=(\frac{(a+1) (a e^{-a}+e^{-a})}{2}) & +\infty  & \searrow  & 0 & \nearrow  & \frac{2}{e^{1}} & \searrow  & 0 \\ \\ y'=(-\frac{(a-1)\cdot (a+1) e^{-a}}{2}) & -\infty  & - & 0 & + & 0 & - & 0 \\ \end{array}\right) \\

Posté par
math26re : Etude d'une fonction 28-12-17 à 13:25

oui, j'avais juste plus développé...

Merci


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !