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Étude d’une fonction

Posté par
sasul10001
27-03-22 à 11:19

Bonjour j'ai un dm à faire et j'ai besoin d'aide :
Voici l'énoncé :

Partie A: étude d'une fonction
On considère la fonction f définie sur l'intervalle]1;+[ par
f(x)= x/ln(x)

Dans le repère ci-contre, on a tracé dans un repère orthogonal la courbe C représentative de la fonction f ainsi que la droite D d'équation y=x.

1)calculer les limites de la fonction f en + et en 1

2)étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle]1;+[

3)en déduire que si xe alors f(x)e

Merci pour votre aide

Posté par
hekla
re : Étude d’une fonction 27-03-22 à 11:30

Bonjour

Que proposez-vous ? qu'est-ce qui vous gêne dans la première question ?

Posté par
sasul10001
re : Étude d’une fonction 27-03-22 à 11:45

Oui! Voilà ce que j'ai écris :
Lim en +:
On factorise par le terme du plus haut degré : x(x/xln(x)) =x1/ln(x)

Lim de x=+
Lim de 1/ln(x)=0

Par produit on a : lim x/xln(x) =0 donc lim f(x)=0

Ce qui me gêne ici c'est que je ne sais pas s'il faut que j'applique le théorème des croissances comparées car on a x/ln(x) mais pour appliquer les croissances comparées il faut ln(x)/x =0

Et je suis bloqué pour lim en 1
J'ai écris :
Lim x=1
Lim ln(x)=0
Mais d'après la courbe sur ma calculatrice, la limite de f(x) tend vers -
Je ne sais pas quoi faire

Et merci pour votre réponse

Posté par
hekla
re : Étude d’une fonction 27-03-22 à 12:07

C'est bien le théorème des croissances comparées qu'il faut appliquer

Quel est l'inverse de \dfrac{\ln x}{x} ?

 \infty\times 0 est une « forme indéterminée »

En 1+  le numérateur tend vers une limite finie, le dénominateur tend vers 0

à préciser 0_+ ou 0_-   donc le quotient tend vers

Posté par
carpediem
re : Étude d’une fonction 27-03-22 à 12:30

salut

je ne comprends pas ce que tu fais ...

x/ ln x = x * 1/ lnx tout simplement ...mais c'est inutile puisque c'est une FI en +oo


en +oo:  x/ ln x est l'inverse de (ln x) / x dont la limite est bien connue

et il est aisé de calculer la limite de l'inverse d'une fonction ...

en 1 : le calcul de la limite d'un quotient ne pose aucun pb lorsqu'on sait ce qu'il faut faire quand le dénominateur tend vers 0 : voir ton cours car

sasul10001 @ 27-03-2022 à 11:45

Lim x=1
Lim ln(x)=0   insuffisant : voir cours
Mais d'après la courbe sur ma calculatrice, la limite de f(x) tend vers - ça m'étonnerait si x > 1... d'après la règle des signes ...

Posté par
sasul10001
re : Étude d’une fonction 27-03-22 à 14:09

On a une FI (lim de x =+ et lim de 1/ln(x) =0-

L'inverse de x/ln(x) est ln(x)/x ,donc d'après le théorème des croissances comparées on a : ln(x)/x =0
On peut écrire : ln(x)1/x

On a encore une forme indéterminée

Lim ln(x) =+
Lim 1/x =0

Mais graphiquement f(x) tend vers + ...

Lim en 1+ :
Lim x =1
Lim ln(x)=0-

Ln(x)1/x = Ln(x)1/1= +

Moi non plus je ne comprends pas ce que vous dites , parce qu'il est écrit dans mon cours que ln(x)/x =0 , je préfère que quelqu'un d'autre m'aide...

Posté par
hekla
re : Étude d’une fonction 27-03-22 à 14:18

Dans votre cours, vous avez \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0.

Vous avez aussi : l'inverse d'une fonction tendant vers 0 tend vers l'infini

la démonstration de  \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0 ne se fait pas par le produit de la fonction ln et de la fonction inverse puisque alors, on aurait une forme indéterminée

Ici, la calculatrice vous apporte une indication sur la réponse  +\infty

Posté par
carpediem
re : Étude d’une fonction 27-03-22 à 14:18

sasul10001 @ 27-03-2022 à 14:09

On a une FI (lim de x =+ et lim de 1/ln(x) =0- donc sans intérêt ...

L'inverse de x/ln(x) est ln(x)/x ,donc d'après le théorème des croissances comparées on a : ln(x)/x =0 donc c'est fini en lisant ce que j'ai écrit !! et en déterminant la limite de l'inverse d'une fonction
On peut écrire : ln(x)1/x

On a encore une forme indéterminée  

Lim ln(x) =+
Lim 1/x =0

Mais graphiquement f(x) tend vers + ...
sans intérêt puisque on a reconnu une croissance comparée !!! et que donc c'est quasiment fini en passant à l'inverse

Lim en 1+ :
Lim x =1
Lim ln(x)=0- faux si x > 1

Ln(x)1/x = Ln(x)1/1= +

Moi non plus je ne comprends pas ce que vous dites , parce qu'il est écrit dans mon cours que g(x) = ln(x)/x =0 ,je n'ai jamais dit le contraire ... mais te rends-tu compte que f(x) est l'inverse de ce quotient ?

et que si g(x) --> 0 alors son inverse tend vers ? et à nouveau il suffit de réviser la règle des signes pour conclure proprement ...

ou alors ton cours est bien incomplet ...


je préfère que quelqu'un d'autre m'aide...



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