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Étude d’une fonction
Bonjour j'ai un dm à faire et j'ai besoin d'aide :
Voici l'énoncé :
Partie A: étude d'une fonction
On considère la fonction f définie sur l'intervalle]1;+
[ par
f(x)= x/ln(x)
Dans le repère ci-contre, on a tracé dans un repère orthogonal la courbe C représentative de la fonction f ainsi que la droite D d'équation y=x.
1)calculer les limites de la fonction f en + et en 1
2)étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle]1;+[
3)en déduire que si x
e alors f(x)e
Merci pour votre aide 
Oui! Voilà ce que j'ai écris :
Lim en +:
On factorise par le terme du plus haut degré : x(x/xln(x)) =x
1/ln(x)
Lim de x=+
Lim de 1/ln(x)=0
Par produit on a : lim x/xln(x) =0 donc lim f(x)=0
Ce qui me gêne ici c'est que je ne sais pas s'il faut que j'applique le théorème des croissances comparées car on a x/ln(x) mais pour appliquer les croissances comparées il faut ln(x)/x =0
Et je suis bloqué pour lim en 1
J'ai écris :
Lim x=1
Lim ln(x)=0
Mais d'après la courbe sur ma calculatrice, la limite de f(x) tend vers -
Je ne sais pas quoi faire
Et merci pour votre réponse
C'est bien le théorème des croissances comparées qu'il faut appliquer
Quel est l'inverse de ?
est une « forme indéterminée »
En 1+ le numérateur tend vers une limite finie, le dénominateur tend vers 0
à préciser ou
donc le quotient tend vers
salut
je ne comprends pas ce que tu fais ...
x/ ln x = x * 1/ lnx tout simplement ...mais c'est inutile puisque c'est une FI en +oo
en +oo: x/ ln x est l'inverse de (ln x) / x dont la limite est bien connue
et il est aisé de calculer la limite de l'inverse d'une fonction ...
en 1 : le calcul de la limite d'un quotient ne pose aucun pb lorsqu'on sait ce qu'il faut faire quand le dénominateur tend vers 0 : voir ton cours car
Lim x=1
Lim ln(x)=0 insuffisant : voir cours
Mais d'après la courbe sur ma calculatrice, la limite de f(x) tend vers -
ça m'étonnerait si x > 1... d'après la règle des signes ...On a une FI (lim de x =+ et lim de 1/ln(x) =0-
L'inverse de x/ln(x) est ln(x)/x ,donc d'après le théorème des croissances comparées on a : ln(x)/x =0
On peut écrire : ln(x)1/x
On a encore une forme indéterminée
Lim ln(x) =+
Lim 1/x =0
Mais graphiquement f(x) tend vers + ...
Lim en 1+ :
Lim x =1
Lim ln(x)=0-
Ln(x)1/x = Ln(x)1/1= +
Moi non plus je ne comprends pas ce que vous dites , parce qu'il est écrit dans mon cours que ln(x)/x =0 , je préfère que quelqu'un d'autre m'aide...
Dans votre cours, vous avez .
Vous avez aussi : l'inverse d'une fonction tendant vers 0 tend vers l'infini
la démonstration de ne se fait pas par le produit de la fonction ln et de la fonction inverse puisque alors, on aurait une forme indéterminée
Ici, la calculatrice vous apporte une indication sur la réponse
On a une FI (lim de x =+
et lim de 1/ln(x) =0- donc sans intérêt ...
L'inverse de x/ln(x) est ln(x)/x ,donc d'après le théorème des croissances comparées on a : ln(x)/x =0 donc c'est fini en lisant ce que j'ai écrit !! et en déterminant la limite de l'inverse d'une fonction
On peut écrire : ln(x)
1/x
On a encore une forme indéterminée
Lim ln(x) =+
Lim 1/x =0
Mais graphiquement f(x) tend vers +
...sans intérêt puisque on a reconnu une croissance comparée !!! et que donc c'est quasiment fini en passant à l'inverse
Lim en 1+ :
Lim x =1
Lim ln(x)=0- faux si x > 1
Ln(x)
1/x = Ln(x)1/1= +
Moi non plus je ne comprends pas ce que vous dites , parce qu'il est écrit dans mon cours que g(x) = ln(x)/x =0 ,je n'ai jamais dit le contraire ... mais te rends-tu compte que f(x) est l'inverse de ce quotient ?
et que si g(x) --> 0 alors son inverse tend vers ? et à nouveau il suffit de réviser la règle des signes pour conclure proprement ...
ou alors ton cours est bien incomplet ...
je préfère que quelqu'un d'autre m'aide...
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