Bonsoir kelly16

Etudie les variations de cette fonction.

Kaiser

ben enfait je l'ai fait auparavant mais ça ne me donne rien du tout et j'ai meme refait mon tableau mais ça marche pas ou j'ai peut etre une erreur mais je ne vois pa laquelle

Avant toute chose, pourrais-tu réécrire l'expression avec des parenthèses pour qu'il n'y ait pas de mal entendu ?

c'est fk(x)=ln(1+(kx/ex))

mais c'est aussi égal à fk(x)=ln(ex+kx)-1 (c'est la premiere expression qu'on me donnait dans l'exercice si ça peut vous aidez...

salut
peut être en étudiant non pas la fct f mais la fct
g(x)=fk(x)-k/e comme ça tu pourras peut être montrer que g(x)<0 sur [0:+inf[
.....

je ne comprend pas trop le principe desolé

Bonjour kelly16

Es-tu en train de dire que ?

Kaiser

oui c'est exactement ça j'ai du le prouver dans les questions precedentes

est -ce que quelqu'un aurait une petite idée pour résoudre mon probleme?

kelly, tu n'auras pas de réponse si tu ne clarifies pas ton énoncé

est-ce fk(x) = ln( 1 + (kx)/( exp(x) ) ) ?

Philoux

Oui mais je soupçonne que tu écris ex au lieu de e^x ---> confusion.

Si c'est bien le cas, alors:


fk(x)=ln(1+(kx/e^x))

fk(x) - k/e = ln(1+(kx/e^x)) - k/e

gk(x) = ln(1+(kx/e^x)) - k/e

gk'(x) = ((k.e^x-kx.e^x)/e^2x)/(1+(kx/e^x))

gk'(x) = ((k-kx)/e^x)/(1+(kx/e^x))

gk'(x) = k.(1-x)/[e^x.(1+(kx/e^x))]

Comme  k/[e^x.(1+(kx/e^x))] est strictement positif pour tout x de Dfk, gk'(x) a le signe de 1-x

gk'(x) > 0 pour x dans [0 ; 1[ --> gk(x) est croissante.
gk'(x) = 0 pour x = 1
gk'(x) < 0 pour x dans ]1 ; oo[ --> gk(x) est décroissante.

gk(x) est maximum pour x = 1, ce max vaut gk(1) = ln(1+(k/e)) - k/e <= 0 (**** voir démo plus loin.)

et donc gk(x) <= 0 pour x dans [0 ; oo[

ln(1+(kx/e^x)) - k/e <= 0 pour x dans [0 ; oo[

ln(1+(kx/e^x)) <= k/e  pour x dans [0 ; oo[
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reste à montrer que ln(1+(k/e)) - k/e <= 0 quel que soit k > 0

h(k) = ln(1+(k/e)) - k/e

h'(k) = (1/e)/(1+(k/e)) - 1/e

h'(k) = 1/(e+k) - 1/e

comme k > 0, h'(k) < 0 et h(k) est décroissante.

h(k) est donc maximum pour k -> 0+, ce max = lim(k-> 0+) [ln(1+(k/e)) - k/e] = 0

Donc h(k) <= 0

ln(1+(k/e)) - k/e <= 0

CQFD
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oui exacte je m trompais dans ma notation et merci beaucoup pour vos réponses