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étude d une fonction ln
g vraiment besoin d'aide pour ce devoir maison svp!! voici l'enoncé:
On définit sur ]0;+OO[ une fonction f par:
f(x)= xln((x+2)/x)+(x/4)+1/2
1) etude d'une fonction auxiliaire:
Soit la fonction g definie sur ]0;+OO[ par:
g(x)=ln(x+2)-ln(x)-(2/x+2)+1/4
a) étudier les variations de g sur ]0:+OO[ puis dresser le tableau de variations.
b) determiner la limite de g en +OO. en deduire le signe de g sur]0;+OO[.
2) etude de f
a) déterminer la limite de f en +OO.(on pourra utiliser le changement de variable X=2/x
b) demontrer que si on utilise le chngement de variable X=(x+2)/x, on peut ecrire:
xln(x+2/x)=2X/X-1*lnX/X
en deduire la limite de f en 0.
c) dresser le tableau de variation de f en ]0;+OO[
d)demontrer que la droite d'équation y=x/4+5/2 est asymptote à la courbe representative de f
3) prolongement par continuité
on definit sur [0:+OO[ la fonction h par:
h(x)=f(x) si x > 0
h(0)=1/2
a) demontrer la continuité de h sur [0;+OO[
b) etudier la derivabilité de h en 0; Que peut-on en deduire pour sa courbe au point d'abscisse 0,
c) démontrer ke la droite d'équation y=x coupe une seule fois.
voila merci d'avance
en esperant ke kelkun me reponde .
Salut houda05
Pour la fonction g je suppose que c'est g(x)=ln(x+2)-ln(x)-2/(x+2)+1/4. C'était pas clair avec tes paranthese.
1.
Tu as:
g'(x)=1/(x+2)-1/x+2/(x+2)²=-4/[x(x+2)²]<0
donc g est decroissante sur ]0,+oo[.
Je te laisee faire le tableau de variation en sachant que limite de g en +oo=0.
Tu peux en deduire que g(x)>0
2.
En faisant le changement de variable proposé, tu trouves lim de f en +oo=+oo.
Si X=(x+2)/x alors x=2/(X-1)
donc xln((x+2)/x)=2/(X-1) *lnX=2X/(X-1) *(lnX)/X
Comme limite de lnX/X quand X-> +oo vaut 0 alors xln((x+2)/x)->0 quand x->0 et donc f(x)->0 quand x->0.
Tu remarques que f'(x)=g(x) donc d'après le 1. , f'(x)>0
donc f est croissante sur ]0,+oo[
Je te laisse faire le tableau de variation avec les valeurs de limite à placer.
Pour montrer que la droite y=x/4+5/2 est asymptote à C, tu montres que lim(f(x)-(x/4+5/2))=0 quand x->+oo.
En faisant un changement de variable (inspire de ce qui a été fait avant), tu montres qbien que ca tend vers 0.
donc la droite y=x/4+5/2 est bien asymptote à C.
Attention j'ai fait une erreur dans le post de 13:34, la limite de f en 0.
On a bien xln((x+2)/x)->0 et donc f(x)->1/2 (j'avais oublié le terme constant de f).
Pour montrer la continuite de h sur [0,+oo[, il faut montrer que h est continue en 0 donc que f(x)->1/2 quand x->0.Ceci est vrai d'après la correction que j'ai faite
On :
f'(x)=g(x) sur ]0,+oo[
g n'admet pas de limite finie en 0 donc de meme pour f'
donc f n'est pas dérivable en 0 d'ou h n'est pas derivable en 0.
La courbe de g admet donc une tangente verticale en 0.
Je suppose que la derniere c'est de montrer que la droite y=x coupe une fois C.
Tu recherches leurs points d'intersection et tu dois trouver qu'il n'y en qu'un.
Pour ca, soit tu resoud f(x)=x (un peu long) soit si tu as une croissante strict de f alors tu peux en deduire qu'il y a un seul point d'intersection (theoreme de la bijection).
Voila
Joelz
merci beaucoup de ton aide joelz.
je comprends maintenant. 
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