Bonjour ou Bonsoir,

Je suis en terminale S et j'ai un Dm à faire qui me prend un peu la tête alors qu'il n'y a surement pas de grandes difficultés .

Voici le sujet complet :
Soit g la fonction définie sur l'intervalle [1;+inf[ par: g(x) = 1+ x^2 - 2x^2 lnx.

Questions :
1.a Étudier le sens de variation de la fonction g sur [1; +inf[

1.b Calculer g(e).

1.c Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution Alpha sur [1;e].
Déterminer un encadrement de Alpha d'amplitude 10^-1

2. Soit f la fonction définie sur l'intervalle [1;+inf[ par : f(x) = (lnx)/(1+x^2)

2a. Calculer f'(x) et montrer que pour tout x strictement supérieur à 1 on a : f'(x) = (g(x))/ (x(1+x^2)^2)

2b. Déduire de la question 1 le sens de variation de f sur l'intervalle [1; +inf[

2c. Démontrer que pour tout x de l'intervalle [1;+inf[, 0 strictement inférieure à f(x) strictement inférieur à (lnx)/(x^2)

2d. En déduire la limite de f en +inf. Interpréter graphiquement.


Voici ce que j'ai fait :
Pour étudier les variations de g(x) j'ai fait le dérivé, soit g'(x) = 4x - 4x ln x
Donc les racines sont x =0 ou lnx =1 donc x = e
Donc la fonction est croissante de de 1 à e et décroissante de e à +inf

Ensuite je bloque pour calculer g(e)

J'ai fait d'autres choses mais j'aurais besoin d'explication.

Merci d'avance, bonne journée.