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Etude d'une fonction: phi(x)=[ln(x²-1)]/x

Posté par
sbizi
18-05-08 à 18:22

Bonjour à tous, j'ai besoin d'aide sur une étude de fonction avec ln.
Soit la fonction définie par (x)=[ln(x²-1)]/x
a)Déterminer les ensembles de définition,continuité et dérivabilité.
b)Déterminer les limites de aux bornes de son ensemble de définition.
c)Calculer la dérivée de et montrer que 'est du même signe que g(x²) (g est une fonction étudiée précedemment, définie par g(x)=2x-(x-1)ln(x-1), définie sur]1;+[, croissante sur]1;1+e[ et décroissante sur ]1+e;+[
d)Montrer que est croissante sur l'intervalle ]1;[ et décroissante sur];+[ (ayant été trouvé à une question précédente et défini par (1+e)<<(1+e3) cf topic "Etude d'une fonction:g(x)=2x-(x-1)ln(x-1)"de ce matin)

Voilà ce que j'ai trouvé aux 1ères questions:
a) existe ssi x²-10 x1 ou x-1 et x0
J'ai fait un tableau de signes et je trouve l'ensemble de définition, de dérivabilité ]1;+[
J'ai tracé la courbe sur ma calculette, elle n'est pas continue mais je ne sais pas comment le démontrer.

b)Limites aux bornes de Df
lim(x1+) de (x)=-infini
lim(x+infini)(x)=0

c) Dérivée:
'(x)=[(ln(x²-1))/x]'
=[1ln(x²-1)-x(1/(x²-1))]x²
=[ln(x²-1)-x/(x²-1)]/x²
=[[(x²-1)(ln(x²-1))-x]/(x²-1))/x²
=[(x²-1)(ln(x²-1))-x]/[x²(x²-1)]

Merci de me donner un coup de pouce.

Posté par
borneo
re : Etude d'une fonction: phi(x)=[ln(x²-1)]/x 18-05-08 à 20:47

Bonjour,

ton ensemble de définition n'est pas bon.

on veut que x²-1 > 0 et x 0

par ailleurs, écrire 1 fait un peu sourire...

Tes limites ne sont pas bonnes non plus. Il te suffit de tracer la courbe pour t'en rendre compte.

Posté par
sbizi
re : Etude d'une fonction: phi(x)=[ln(x²-1)]/x 18-05-08 à 20:53

Salut Borneo
oui j'ai tracé la courbe. la fonction n'est pas définie environ de -1 à 1 et elle est discontinue, mais je n'arrive pas à traduire ça dans un langage math.

Posté par
borneo
re : Etude d'une fonction: phi(x)=[ln(x²-1)]/x 18-05-08 à 21:03

Il faut déjà trouver le bon domaine de définition

Posté par
sbizi
re : Etude d'une fonction: phi(x)=[ln(x²-1)]/x 18-05-08 à 21:07

x²-1 doit être >0 à cause du Ln
et x doit être0 puisque c'est un quotient
Jusque là c'est logique ou je me trompe déjà?

Posté par
sbizi
re : Etude d'une fonction: phi(x)=[ln(x²-1)]/x 18-05-08 à 21:09

ln(x²-1) ne fonctionne pas pour x]-1;1[

Posté par
sbizi
re : Etude d'une fonction: phi(x)=[ln(x²-1)]/x 18-05-08 à 21:10

donc Df]-infini;-1[]1;+infini[ et 0 est exclu de toute façon

Posté par
sbizi
re : Etude d'une fonction: phi(x)=[ln(x²-1)]/x 18-05-08 à 21:11

Et ce sont les mêmes intervalles pour les ensembles de dérivabilité et de continuité?

Posté par
sbizi
re : Etude d'une fonction: phi(x)=[ln(x²-1)]/x 18-05-08 à 21:31

effectivement 1 c'était bien ridicule, mais sur le coup ça ne m'a pas choqué. Un WE de math ça grille les neurones apparamment.

Posté par
borneo
re : Etude d'une fonction: phi(x)=[ln(x²-1)]/x 18-05-08 à 21:31

Oui

Posté par
sbizi
re : Etude d'une fonction: phi(x)=[ln(x²-1)]/x 18-05-08 à 21:35

Merci
Pour les limites:
lim(x-)(x)=0
lim(x+)(x)=0
je regarde pour -1 et 1.

Posté par
sbizi
re : Etude d'une fonction: phi(x)=[ln(x²-1)]/x 18-05-08 à 21:38

lim(x-1-)(x)=2
lim(x1+)(x)=-2

Posté par
sbizi
re : Etude d'une fonction: phi(x)=[ln(x²-1)]/x 18-05-08 à 21:53

mon 2 et -2 sont déterminés graphiquement. J'essaie encore de les calculer.

Posté par
borneo
re : Etude d'une fonction: phi(x)=[ln(x²-1)]/x 18-05-08 à 22:11

Pour +00 la limite est 0+  et pour -00 la limite est 0-

tes limites en -1  et +1 sont fausses, regarde la courbe !

Posté par
sbizi
re : Etude d'une fonction: phi(x)=[ln(x²-1)]/x 18-05-08 à 22:25

lim en-1-=1+
lim en 1+=-1- mais c'est avec la courbe, comment je peux le prouver par le calcul?

Posté par
sbizi
re : Etude d'une fonction: phi(x)=[ln(x²-1)]/x 18-05-08 à 22:41

Non, je recommence:
lim en-1- =+infini
lim en 1+ =-infini

Posté par
borneo
re : Etude d'une fonction: phi(x)=[ln(x²-1)]/x 18-05-08 à 22:49

OK

Posté par
sbizi
re : Etude d'une fonction: phi(x)=[ln(x²-1)]/x 18-05-08 à 22:51

Enfin Merci
Pour la dérivée, est ce que je me suis autant plantée que jusqu'à maintenant...

Posté par
borneo
re : Etude d'une fonction: phi(x)=[ln(x²-1)]/x 18-05-08 à 22:52

Quand x tend vers 1 l'argument du ln tend vers 0 donc ln(x²-1) tend vers -00

on divise par 1 ça fait toujours -00

Ce n'est pas une FI


Quand x tend vers -1  ln(x²-1) tend vers -00

on divise par -1 et on trouve +00

Posté par
borneo
re : Etude d'une fonction: phi(x)=[ln(x²-1)]/x 18-05-08 à 22:54

Pour la dérivée je trouve (2x² - (x²-1)ln(x²-1)/(x²(x²-1))


comme le dénominateur est > 0  (ensemble de définition)


ta dérivée est bien du signe de g(x²)

Posté par
borneo
re : Etude d'une fonction: phi(x)=[ln(x²-1)]/x 18-05-08 à 22:55

il manque une parenthèse, c'est (2x² - (x²-1)ln(x²-1))/(x²(x²-1))

Posté par
sbizi
re : Etude d'une fonction: phi(x)=[ln(x²-1)]/x 18-05-08 à 22:59

Pourquoi 2x²?

Posté par
borneo
re : Etude d'une fonction: phi(x)=[ln(x²-1)]/x 18-05-08 à 23:04

u = ln(x²-1)

u' = 2x/(x²-1)

v = x

v' = 1


u'v = 2x²/(x²-1)

c'est de là

Posté par
sbizi
re : Etude d'une fonction: phi(x)=[ln(x²-1)]/x 18-05-08 à 23:10

moi j'ai pris u'=1/(x²-1)

Posté par
borneo
re : Etude d'une fonction: phi(x)=[ln(x²-1)]/x 18-05-08 à 23:12

Ah ben non

la dérivée de ln(u) c'est u'/u

Posté par
sbizi
re : Etude d'une fonction: phi(x)=[ln(x²-1)]/x 18-05-08 à 23:14

d'accord merci

Posté par
borneo
re : Etude d'une fonction: phi(x)=[ln(x²-1)]/x 18-05-08 à 23:33

Je quitte l'île, relance le topic pour que d'autres t'aident à finir  



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