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Etude d'une néphroïde

Posté par
Mari0
03-10-22 à 18:57

Bonsoir à vous,
voici mon problème :
Soit C le cercle de centre 0 de rayon a>0.
Avec les notations de la figure, est l'enveloppe de la famille des droites Dt passant par A et B.
1) Montrer que le point B a pour coordonnées (-acos(3t),-asin(3t)).
2) Déterminer une représentation paramétrique de
.
3) Etudier et la tracer dans le cas où a=1.

Je n'arrive pas à montrer que B a ces coordonnées là et quant bien meme je n'arrive pas à sortir une représentation paramétrique. Je dois mal comprendre l'énoncé.
Merci pour votre aide

Etude d\'une néphroïde

Posté par
carpediem
re : Etude d'une néphroïde 03-10-22 à 19:44

salut

peut-être travailler avec les complexes ... vu que le triangle BOA est isocèle en O ...

Posté par
larrech
re : Etude d'une néphroïde 03-10-22 à 23:09

Bonjour,

L'énoncé ne le dit pas, mais il y a tout lieu de croire que les angles et t sont alternes- internes.
Par ailleurs on peut évaluer l'angle entre  Ox et OB dans le triangle AOB et en déduire les coordonnées de B.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Etude d'une néphroïde 04-10-22 à 02:32

Bonsoir


il me semble aussi que c'est t à la place de \alpha


une idée pour le 1),


En considérant le point A' diamétralement opposé à A on a :


\widehat{\left(\vec{OA'},\vec{OB}\right)}=2t (angle au centre)


et donc (par Chasles pour les angles) \widehat{\left(\vec{OB},\vec{i}\right)}=\widehat{\left(\vec{OA'},\vec{OA}\right)}-\widehat{\left(\vec{OA'},\vec{OB}\right)}-\widehat{\left(\vec{i},\vec{OA}\right)}=\pi-3t


d'où \Large\boxed{\widehat{\left(\vec{i},\vec{OB}\right)}=3t-\pi} sauf erreur de ma part bien entendu

Etude d\'une néphroïde

Posté par
larrech
re : Etude d'une néphroïde 04-10-22 à 09:51

J'aurais dû ajouter " la droite horizontale rouges est  sans doute supposée   parallèle à l'axe des x" et c'est cela que l'énoncé ne dit pas. De ce fait, t=, les angles étant alternes -internes.
Merci à elhor_abdelali de n'avoir pas relevé

Posté par
mathafou Moderateur
re : Etude d'une néphroïde 04-10-22 à 10:37

Bonjour,

cela correspond à l'une des définitions de la néphroïde :
enveloppe des rayons réfléchis ("caustique") dans un cercle, issus d'une source à l'infini.

Posté par
verdurin
re : Etude d'une néphroïde 04-10-22 à 18:35

Bonsoir,
pour voir les courbes on peut aller sur l'excellent site de Robert Ferréol

Posté par
mathafou Moderateur
re : Etude d'une néphroïde 05-10-22 à 11:14

Bonjour,

aucune réaction de Mari0, soit c'est trop tard (exo pour avant hier) soit il attend qu'on lui fasse les calculs....

"et quant bien même"
Maintenant qu'on a les coordonnées de B en fonction de t, on peut par calcul déterminer l'enveloppe des droites (AB)

Traditionnellement, et c'est certainement ce qui est attendu dans cet exo, cela se fait en écrivant l'équation de la droite (AB), en fonction de t, Δ(t), et en déterminant la limite du point d'intersection entre Δ(t) et Δ(t+dt) lorsque dt tend vers 0
y' a plus qu'à ...

On peut aussi interpréter cela de façon purement géométrique pour trouver le point de contact de la droite avec son enveloppe.
La détermination de l'enveloppe est alors ramenée à un simple lieu géométrique.
Et on peut prouver alors que la néphroïde ainsi définie est équivalente à une épicycloïde, lieu d'un point d'un cercle (de rayon a/4) roulant sans glisser sur l'extérieur d'un cercle (de rayon a/2)

(cf le site précité qui donne plusieurs définitions équivalentes de la néphroïde, sans les démonstrations)

Posté par
Mari0
re : Etude d'une néphroïde 06-10-22 à 21:22

Désolé je n'ai pas donné de réponse j'avais enfin compris le problème, je n'avais pas remarqué que le triangle OAB était isocèle, ainsi on pouvait dire que l'angle OBA était égal à l'angle OAB, et l'angle t=alpha le tour était joué.
Merci pour vos réponses et pour votre temps



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