Bonjour,
J'ai besoin d'aide pour un exercice de maths sur les suites et limites de suite pour un DM de maths.
Merci d'avance pour votre aide.
On définit sur ℕ la suite (Vn) par :
Vn+1=𝑓(Vn)
V0= 1
avec 𝑓(𝑥)=√1+𝑥
a) Calculer v1, v2
b) Construire géométriquement les premiers termes de la suite.
c) Montrer par récurrence Vn ≤ Vn+1 ≤ 2
d) Montrer que (Vn) converge
e) Déterminer lim (Vn) lorsque n tend vers +∞
voici la représentation de 𝑓
tu peux rester car je m'en vais ...
il me semblait important de notifier qu'il manquait des parenthèses !!
xofnxksd,
as tu avancé ?
commencer ne devrait pas te poser de problème.
on te demande de calculer V1 et V2
V1 = (1 + V0) et V0 = 1 donc V1 = ?
oui, c'est ça
nous avons des problèmes de connexion, petit dépannage en attendant que Leile reprenne l'aide
tu pourrais regarder cette fiche avec des exemples correctement rédigés Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés
merci malou pour le relais.
xofnxksd, si tu veux, la récurrence on peut la faire en deux stades.
D'abord montre que Un < Un+1
initialisation : quand n=0, tu écris quoi pour initialiser ?
C'est l'Initialisation on montre que la proposition est vraie au rang 0 donc Vn ≤ Vn+1 ≤ 2
V0≤ V1 ≤ 2 et 1≤ √2 ≤ 2 la proposition est vrai au rang 0
Hérédité: on suppose qu'il existe un entier naturel n tel que la proposition soit vrae au rang n et qu'elle implique le rang n+1 c'est à dire: Vn ≤ Vn+1 ≤ 2
Vn+1 ≤ Vn+2 ≤ 2
et la Conclusion on dit que la proposition est vraie au rang 0 de plus elle est héréditaire donc elle est vraie pout tout n appartenant à ℕ
Cependant à l'étape de l'hérédité je ne sais pas comment démontrer
on va s'occuper de Vn < Vn+1 et ensuite tu pourras faire l'autre partie de l'inégalité seul, je pense.
Vn < Vn+1
initialisation : pour n=0, on a V0=1 et V1= 2
donc V0 < V1
la propriété est vraie pour n=0
hérédité : on prend n
on suppose Vn < Vn+1
(tu cherches à montrer que Vn+1 < Vn+2)
Vn < Vn+1
ajoute 1 de part et d'autre ..
vas y !
à ton avis que va-t-on faire ensuite ?
bon...télescopage...fais comme te dit Leile, et ensuite tu feras avec "ma" méthode
Je te rends la main Leile
xofnxksd, écris correctement avec les indices !
Vn < Vn+1
toi tu écris
Vn < Vn+1 et quand tu ajoutes 1, tu ajoutes 1 aux indices, ce qui est faux.
je reprends :
Vn < Vn+1
Vn + 1 < Vn+1 + 1
tu vois la différence ?
à présent, tu sais que tu dois appliquer la racine de part et d'autre.
Avant de la faire, quelle précision dois tu apporter sur la fonction racine carrée ?
ahh oui je viens de voir excusez-moi
je dois rajouter les parenthèses sur la fonction racine carré ?
bien sûr, tu vas écrire les parenthèses, mais qu'est ce qui fait que tu as le droit d'appliquer la racine sans changer le sens de l'inégalité ?
ah il faut connaitre la variation de la racine pour savoir le sens de l'inégalité de ce fait, le signe est positif donc la fonction est croissante et sens sens de l'inégalité ne change pas .
?
oui, c'est ça ; la fonction racine carrée est strictement croissante sur R+,
ainsi, tu peux appliquer la racine carrée sans changer le sens de l'inégalité.
tu obtiens donc :
tu sais terminer ?
euu je pense
pour le question d) on dit que la suite (Vn) est croissante et majorée par 2 donc elle converge
e) on détermine la limite à l'aide de la calculatrice ?
euh ....
il faut d'abord terminer la question c)
on était là :
donc
conclusion : la propriété est vraie pour n=0, elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier n >=0
peux tu montrer par récurrence que Vn < 2 pour tout entier n >=0 ?
initialisation : .........
hérédité : ...........
conclusion ..........
vas y !
initialisation : au rang 0 on a V0 < 2 V0=1 1<2 donc la proposition est vraie
hérédité : Vn < 2
Vn+1 +1 < 2+1
Vn+1 +1< 3
√(Vn+1+1)< √3
Vn+2 < √3
conclusion : la propriété est vraie pour n=0, elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier n >=0
tu y es presque..
Initialisation : OK
Hérédité : on pose Vn < 2
sur ton brouillon, tu écris ce que tu veux montrer ; ici, on veux montrer que Vn+1 < 2
Vn < 2
Vn +1 < 3
la fonction racine carré est strictement croissante sur R+, on peut donc écrire
(Vn +1 ) <
3
d'où Vn+1 < 3 < 2
conclusion : la propriété est vraie pour n=0, elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier n >=0.
ainsi on a montré que Vn< Vn+1 < 2 pour tout entier n>=0.
OK ?
on termine ton exercice, et je te montrerai comment malou était partie pour répondre à cette question en une fois.
d) tu as bien répondu :
la suite est croissante et bornée, donc elle converge.
e) Comme la suite converge, il existe une limite finie. Soit L cette limite, quand n tend vers +oo, on a L=f(L)
L = (L + 1)
équation à résoudre pour trouver L.
vas y !
L = √ (L + 1)
L2=L+1
L2-L-1=0
C'est un polynome du 2nd degré donc on calcule le discriminant
b2-4ac = 1-4*1*(-1)=5 >0 donc 2 solution :
x1 = ( √(5)-1)/2) mais la solution est négative
x2 = ( √(5)+1)/2)
donc lim Vn=( √(5)+1)/2) lorsque n tend vers +∞
oui !!!
L est environ égal à 1,62 : ce qui est cohérent avec ta représentation graphique, n'est ce pas ?
je reprends la c) Montrer par récurrence Vn ≤ Vn+1 ≤ 2
initialisation : pour n=0, on a 1 < 2 < 2
la propriété est vraie pour n=0
hérédité : on pose Vn ≤ Vn+1 ≤ 2
Vn + 1 ≤ Vn+1 + 1 ≤ 3
la fonction racine carrée est strictement croissante sur R+, on peut donc écrire
(Vn + 1) ≤
(Vn+1 + 1 ) ≤
3
d'où
Vn+1 ≤ Vn+2 ≤ 3 < 2
ce qui montre l'hérédité.
la propriété est vraie pour n=0, elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier n >=0.
J'ai voulu le faire en deux temps pour te laisser l'occasion de le faire seul, mais tu vois qu'en une seule étape, ça va très vite..
As tu d'autres questions ?
oui effectivement , je n'ai pas d'autres questions mais merci énormément pour votre aide et le temps consacré.
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