bonjour,

où en es tu ? qu'as tu fait ?

bonjour, je ne sais pas comment commencer

salut

bonjour,  le tout à la racine carré la 1ère proposition  

carpediem,

deux intervenants sur ce sujet, c'est beaucoup.
Je quitte.

tu peux rester car je m'en vais ...

il me semblait important de notifier qu'il manquait des parenthèses !!

xofnxksd,

as tu avancé ?
commencer ne devrait pas te poser de problème.
on te demande de calculer V1 et V2
V1  =   (1 + V0)   et  V0 = 1    donc V1 = ?

V0=1
V1=\sqrt{1+1}  
V2=\sqrt{1+\sqrt{2}  }  
?

c'est pas très clair
V0=1
V1=√(1+1)=√2
V2=√(1+√2)
?

oui, c'est ça
_{nous avons des problèmes de connexion, petit dépannage en attendant que Leile reprenne l'aide}

oui,
pour la seconde question je pense avoir compris
mais j'ai plus de mal avec la récurrence

oh, elle ne va pas être bien compliquée cette récurrence
vas-y, commence...qu'écris-tu ?

tu pourrais regarder cette fiche avec des exemples correctement rédigés Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés

merci malou pour le relais.

xofnxksd, si tu veux, la récurrence on peut la faire en deux stades.
D'abord  montre que U_n  <   U_n+1

initialisation : quand n=0, tu écris quoi pour initialiser ?

C'est l'Initialisation on montre que la proposition est vraie au rang 0 donc  Vn ≤ Vn+1 ≤ 2
V0≤  V1 ≤ 2    et     1≤  √2  ≤ 2  la proposition est vrai au rang 0

Hérédité: on  suppose qu'il existe un entier naturel n tel que la proposition soit vrae au rang n et qu'elle implique le rang n+1 c'est à dire: Vn ≤ Vn+1 ≤ 2
               Vn+1 ≤ Vn+2 ≤ 2

et la Conclusion on dit que la proposition est vraie au rang 0 de plus elle est héréditaire donc elle est vraie pout tout n appartenant à  ℕ

Cependant à l'étape de l'hérédité je ne sais pas comment démontrer

on va s'occuper de   V_n  <   V_n+1 et ensuite tu pourras faire l'autre partie de l'inégalité seul, je pense.

   V_n  <   V_n+1

initialisation :   pour n=0,   on a V0=1  et V1= 2
donc   V0 < V1    
la propriété est vraie pour n=0

hérédité : on prend n
on suppose    V_n  <   V_n+1   

(tu cherches à montrer que  V_n+1  <  V_n+2)

  V_n  <   V_n+1   
ajoute 1 de part et d'autre ..
vas y !
à ton avis que va-t-on faire ensuite ?

bon...télescopage...fais comme te dit Leile, et ensuite tu feras avec "ma" méthode
Je te rends la main Leile

Vn  <   Vn+1  
on ajoute 1
Vn +1 <   Vn+2
et après il me semble qu'il faut utiliser la fonction racine ?

faut mettre tes indices !

   V_n  <   V_n+1

ajoute   1 de part et d'autre ; ce n'est pas ce que tu as fait.

Vn  <   Vn+1
Vn +1  <  Vn+2

𝑓(Vn+1)<𝑓(Vn+2)
?

xofnxksd, écris correctement avec les indices !

   V_n  <   V_n+1
toi tu écris
Vn   <  Vn+1    et quand tu ajoutes 1,   tu ajoutes 1 aux indices, ce qui est faux.

je reprends :
   V_n               <       V_n+1
   V_n     +    1    <   V_n+1    +    1
tu vois la différence ?

à présent, tu sais  que tu dois appliquer la racine de part et d'autre.
Avant de la faire, quelle précision dois tu apporter sur la fonction racine carrée ?

ahh oui je viens de voir excusez-moi
je dois rajouter les parenthèses sur la fonction racine carré ?

bien sûr, tu vas écrire les parenthèses, mais qu'est ce qui fait que tu as le droit d'appliquer la racine sans changer le sens de l'inégalité ?

ah il faut connaitre la variation de la racine pour savoir le sens de l'inégalité de ce fait, le signe est positif donc la fonction est croissante et sens sens de l'inégalité ne change pas  .
?

oui, c'est ça ; la fonction racine carrée  est strictement croissante sur R+,
ainsi, tu peux appliquer la racine carrée sans changer le sens de l'inégalité.
tu obtiens donc :



tu sais terminer ?

euu je pense
pour le question d) on dit que la suite (Vn) est croissante et majorée par 2 donc elle converge
e) on détermine la limite à l'aide de la calculatrice ?

euh ....  
il faut d'abord terminer la question c)    


on était là :

donc

conclusion : la propriété est vraie pour n=0, elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier n >=0

peux tu montrer par récurrence que  Vn < 2  pour tout entier n >=0 ?
initialisation : .........  
hérédité : ...........
conclusion ..........

vas y !

initialisation : au rang 0 on a   V₀ < 2   V₀=1  1<2 donc la proposition est vraie

hérédité : Vn < 2
                       V_n+1 +1 <  2+1
                       V_n+1 +1< 3
                       √(V_n+1+1)< √3
                       V_n+2 < √3
conclusion : la propriété est vraie pour n=0, elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier n >=0

tu y es presque..

Initialisation : OK
Hérédité  :   on pose   V_n < 2

sur ton brouillon, tu écris ce que tu veux montrer ; ici, on veux montrer que   V_n+1 < 2

V_n < 2
V_n    +1  < 3
la fonction racine carré est strictement croissante sur R+, on peut donc écrire
(V_n +1 ) < 3
d'où  V_n+1 < 3  < 2

conclusion : la propriété est vraie pour n=0, elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier n >=0.

ainsi on a montré que V_n< V_n+1 < 2    pour tout entier n>=0.

OK ?

on termine ton exercice, et je te montrerai comment malou était partie pour répondre à cette question en une fois.

d)   tu as bien répondu :
la suite est croissante et bornée, donc elle converge.

e) Comme la suite converge, il existe une limite finie. Soit L cette limite, quand n tend vers +oo,    on a   L=f(L)
L =   (L + 1)
équation à résoudre pour trouver L.

vas y !

L =  √  (L + 1)
L²=L+1
L²-L-1=0
C'est un polynome du 2nd degré donc on calcule le discriminant
b²-4ac = 1-4*1*(-1)=5 >0 donc 2 solution :
x₁ = ( √(5)-1)/2)  mais la solution est négative
x₂ = ( √(5)+1)/2)  
donc lim V_n=( √(5)+1)/2)  lorsque n tend vers +∞

oui  !!!    
L est environ égal à 1,62  : ce qui est cohérent avec ta représentation graphique, n'est ce pas ?

je reprends la c)    Montrer par récurrence V_n ≤ V_n+1 ≤ 2

initialisation : pour n=0, on a   1   <   2  < 2
la propriété est vraie pour n=0

hérédité : on pose V_n ≤ V_n+1 ≤ 2

V_n   + 1   ≤ V_n+1    +   1   ≤    3
la fonction racine carrée est strictement croissante sur R+, on peut donc écrire
(V_n   + 1)   ≤ (V_n+1    +   1 )  ≤   3
d'où
V_n+1    ≤ V_n+2      ≤    3  < 2
ce qui montre l'hérédité.

la propriété est  vraie pour n=0, elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier n >=0.

J'ai voulu le faire en deux temps pour te laisser l'occasion de le faire seul, mais tu vois qu'en une seule étape, ça va très vite..

As tu d'autres questions ?

oui effectivement , je n'ai pas d'autres questions mais merci énormément pour votre aide et le temps consacré.

je t'en prie,  à une prochaine fois.