Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Etude d une suite
Bonjour !
soit la suite définie sur N par u(n)= f(1)+f(2)+...f(n)=(somme de 1 à
n)e^-k*ln(1+e^k)
je dois déterminer le sens de variation de cette fonction...j'ai
dérivé la fonction pour trouver la réponse mais je n'arrive
toujours pas à trouver le sens! pourriez-vous m'aider svp
euh je crois que je me suis mal exprimée... j'ai dérivé la fonction
mais le résultat que je trouve ne me permet pas de déterminer le
sens de variation de la fonction. voilà !
bonjour
permettez moi de vous répondre.
J'aurais aimé avoir l'énoncé complet.
vous parlez de fonction à dériver et de sens de variation. de quoi de
la fonction ou de la suite?
En tout cas, votre suite ressemble à une suite de Reiman.
Les suites de Reimans sont-elles à votre programme?
Voudriez-vous bien me donner l'énoncé complet SVP.
Merci.
Si j'ai bien compris la question.
U(n) = f(1) + f(2) + ...f(n)
U(n+1) = f(1) + f(2) + ...f(n) + f(n+1)
U(n+1) - U(n) = f(n+1)
U(n+1) - U(n) = e^(-(n+1)) * ln(1+e^(n+1))
Or e^(-(n+1)) > 0 puisque une exponentielle est > 0 quel que soit
son argument.
et ln(1+e^(n+1)) > 0 puisque l'argument du logarithme est > à 1.
->
U(n+1) - U(n) > 0
U(n+1) > U(n)
et la suite Un est croissante.
-----
Sauf distraction. 
pour watik: j'ai écrit ce qu'il y a avait dans l'énoncé
dans mon message.Je suis en Ts et je ne pense pas que les suites
Reiman soient au programme!
pour J-P: je pense plutot que la suite est décroisante sur [0,+infini]
, c'est ce que j'obtiens avec ma calculatrice..
bonjour J_P
faut-il determiner le sens de variation de la suite ou de la fonction? et
quelle fonction?
la suite est évidement croissante puisque les f(n)>0 car 1+e^-k>1.
c'est rivial.
pour WATIK: il faut déterminer le sens de variation de la suite!
J'ai l'impression sarah que tu confonds le sens de variation
de la fonction f(x) = e^-x*ln(1+e^x)
avec le sens de variation de la suite Un
On a bien que f(x) = e^-x*ln(1+e^x) est partout décroissante mais il
ne faut pas confondre cela avec le sens de variation de Un.
Explications.
On a U(0) = f(0) = e^(-0) * ln(1+1) = 1*ln(2) = 0,693...
U(1) = f(0) + f(1)
et f(1) = e^(-1) * ln(1+e) = 0,483...
U(1) = 0,693... + 0,483... = 1,176...
et tu vois bien que :
f(1) < f(0)
mais que
U(1) > U(0)
-----
Pour trouver le sens de variation de la suite Un, il existe plusieurs
manières, les 2 plus fréquentes sont:
a)
Soit étudier le signe de U(n+1) - U(n)
Si tu montres que U(n+1) - U(n) > 0 pour tout n de N et bien la suite
Un est croissante.
Si tu montres que U(n+1) - U(n) < 0 pour tout n de N et bien la suite
Un est décroissante.
Si tu montres que U(n+1) - U(n) = 0 pour tout n de N et bien la suite
Un est stationnaire.
(Remarque si tu trouves par exemple que U(n+1) - U(n) > 0 à la condition que
n >= 8, tu pourrais dire que la suite Un est croissante à partir
de n = 8).
b)
Soit Etudier le rapport U(n+1) / U(n)
Si tu montres que U(n+1) / U(n) > 1 pour tout n de N et bien la suite
Un est croissante.
Si tu montres que U(n+1) / U(n) < 1 pour tout n de N et bien la suite
Un est décroissante.
Si tu montres que U(n+1) / U(n) = 1 pour tout n de N et bien la suite
Un est stationnaire.
-----
Dans le cas du problème, j'ai montré:
U(n+1) - U(n) = f(n+1)
Et donc il faut dans ce cas, il faut étudier le SIGNE de f(n+1) et pas
son sens de variation.
Tu peux le faire différemment de lors de ma réponse précédente.
Par ex, tu étudies le sens de variation de f(x) (et tu trouves décroissant)
Ensuite:
lim(x->-oo) f(x) = oo
lim(x->oo) f(x) = 0
Tu peux donc conclure que f(x) > 0 quel que soit x et donc aussi si
x = n+1.
Donc f(n+1) > 0 quel que soit n et ->
U(n+1) - U(n) > 0
U(n+1) > U(n) et Un est croissante.
-----
OK ? 
bonsoir!
j'ai une autre question qui me pose problème...on me demande de démontrer
que pour tout entier k tel que 1 
k
n on a f(k) (intégrale de k à k-1) f(t)dt. pourriez-vous
me donner des indications ?
rebonjour Sarah.
Monsieur J-P vous montré que f est décroissante.
soit t tel que : (k-1)<=t<=k
comme f est décroissante en prenant l'image par f de chaque memebre
de l'inégalité précédente et en inverssant le sens de l'inégalité
des images vous obtenez:
f(k)<=f(t)<=f(k-1)
en intégrant les trois membres entre (k-1) et k vous obtenez:
I(k-1,k)f(k)dt<=I(k-1,k)f(t)dt<=I(k-1,k)f(k-1)dt
où I(k-1,k) désigne l'intégral de k-1 à k.
comme:
I(k-1,k)f(k)dt=f(k)I(k-1,k)dt ; car f(k) est une constante.
= f(k) [t](k,k-1)
=f(k)(k-(k-1))
=f(k)
donc d'apès l'inégalité: I(k-1,k)f(k)dt<=I(k-1,k)f(t)dt
et en tenant compte de I(k-1,k)f(k)dt=f(k)
vous obtenez : f(k)<=I(k-1,k)f(t)dt
voila
je vous invite à reproduire cette démonstration sans la regarder.
La suite logique de votre exo est de majorer Un par
Un=f(1)+...f(n)<=I(0,1)f(t)dt +...+I(n-1,n)f(t)dt
= I(0,n)f(t)dt
donc qq soit n Un<=I(0,n)f(t)dtI(0,n)f(t)dt
par une intégration par partie vous montrez qu'une prémitive de
f est
F(x)=(1+exp(-x))ln(1+exp(x)) - x
et donc
I(0,n)f(t)dt= 2ln(2) +n.exp(-n)-(1+exp(-n)ln(1+exp(-n))
et vous montrez que I(0,n)f(t)dt est majouré par 2ln(2)
donc en résumé qq soit n Un<=I(0,n)f(t)dt<=2ln(2)
Un est donc majorée comme elle est aussi croissante vous concluez quant
à sa convergence.
en faite faites un encadrement de Un-2ln2 et montrez que:
limUn=2ln2.
voila
bon courage
rebonjour
désolé une erreur technique "double clic pour coler" a produit l'erreur
suivante:
donc qq soit n Un<=I(0,n)f(t)dtI(0,n)f(t)dt
veuillez lire:
donc qq soit n Un<=I(0,n)f(t)dt
voila
Merci watik ! ....(j'avais demandé des indications..)
Bonsoir!
pour Watik: tu as écris I(k-1,k)f(k)dt=f(k)I(k-1,k)dt ; car f(k)
est une constante.
= f(k) [t](k,k-1)
=f(k)(k-(k-1))
=f(k)
Est-ce que tu pourrais détailler davantage ici stp!
Annuler
connectez vous